Hallo,Könnte mir jemand bitte die Lösung dieser Aufgaben zeigen?
Beste Grüße
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Aufgabe 5:
Es seien \( A, B \) nicht-leere, beschränkte Mengen reeller Zahlen. Wir setzen
$$ \begin{aligned} -A &=\{-a: a \in A\} \\ A \cdot B &=\{a b: a \in A, b \in B\} \end{aligned} $$
Zeigen Sie:
$$ \text { (a) } \inf (A)=-\sup (-A) $$
(b) Sind alle Zahlen aus \( A \cup B \) positiv, so ist \( \sup (A \cdot B)=\sup (A) \cdot \sup (B) \)
(c) Gilt die Aussage in (b) auch noch, wenn jede der beiden Mengen \( A \) und \( B \) sowohl positive als auch negative Zahlen enthalten darf? Beweisen Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.
Aufgabe \( 6: \)
Es sei \( f: A \rightarrow B \) eine Abbildung. Entscheiden Sie in jedem der folgenden beiden Fälle, ob die Aussage stets wahr oder eventuell falsch ist, und geben Sie dazu einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel an:
(a) Für beliebige Teilmengen \( X, Y \) von \( A \) gilt \( f(X \cap Y)=f(X) \cap f(Y) \).
(b) Für beliebige Teilmengen \( U, V \) von \( B \) gilt \( f^{-1}(U \cap V)=f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V) \).
Aufgabe 7:
Für jede natürliche Zahl \( n \geq 1 \) seien \( e_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \) und \( E_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !} \). Zeigen Sie:
(a) Die Folgen \( \left(e_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist monoton wachsend, d.h. es gilt \( e_{n} \leq e_{n+1} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Hinweis: Wenden Sie die Bernoulli Ungleichung auf \( \frac{e_{n+1}}{e_{n}} \) an.
(b) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( 2 \leq e_{n} \leq E_{n}<3 \) Hinweis: Verwenden Sie den binomischen Lehrsatz und Aufgabe 4
