Funktion aus Potenzreihe bestimmen.

Question

Aufgabe:

Meine Aufgabe ist die Funktion zu bestimmen welche durch die Potenzreihe dargestellt wird.

Die Reihe lautet:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n(n-1) x^{n} \)

Problem/Ansatz:

Als Ansatz weiß ich, dass ich die geometrische Reihe verwenden soll, aber ich verstehe noch nicht ganz wie ich die nun anwende?

Answer 1

Aloha :)

Der Ansatz mit der geometrischen Reihe ist gut. Für \(|x|<1\) gilt:

$$\left.\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\quad\right|\text{beide Seiten ableiten}$$$$\left.\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\quad\right|\text{beide Seiten nochmal ableiten}$$$$\left.\sum\limits_{n=2}^\infty n(n-1)x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^3}\quad\right|\cdot x^2$$$$\left.\sum\limits_{n=2}^\infty n(n-1)x^n=\frac{2x^2}{(1-x)^3}\quad\right.$$

Comments

Oh doch so einfach, Danke :D

Jetzt verstehe ich es auch mal, wieso brauchen Professoren dafür immer mehrere Minuten (rhetorische Frage).

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aber ich muss jetzt per Indexverschiebung noch die n=2 zu n=0 bekommen oder?

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Da brauchst du keine Indexverschiebung. Die Summanden haben die Faktorn \(n\) und \((n-1)\). Der erste ist Null für \(n=0\). Der zweite ist Null für \(n=1\). Also kannst du die Summe ohne Indexverschiebung einfach bei \(0\) beginnen lassen.