(i) Im \( \mathbb{R}^{3} \) seien die folgenden Basen gegeben:
\( \mathcal{A}=((1,-1,2),(2,3,7),(2,3,6)) \) und \( \mathcal{B}=((1,2,2),(-1,3,3),(-2,7,6)) \)
(a) Berechnen Sie die Transformationsmatrix \( T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} \).
(b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors
\( v=2 \cdot(1,-1,2)+9 \cdot(2,3,7)-8 \cdot(2,3,6) \)
bezüglich der Basis \( \mathcal{B} \).
(ii) Gegeben sei
\( A=\left(\begin{array}{rrrr} -2 & 3 & 2 & 3 \\ -3 & 5 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -2 & -2 \end{array}\right) \)
Bestimmen Sie Basen \( \mathcal{A} \) von \( \mathbb{R}^{4} \) und \( \mathcal{B} \) von \( \mathbb{R}^{3} \) mit
\( M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}\left(\varphi_{A}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)
