Wisst ihr wie man am schnellsten die quadratische Funktion aufstellt, ohne viele Schritte?

Question

Aufgabe:

Ich habe die Punkte A(20/10,5) und B(2/12,3) a=-0,05

Ich muss die Quadratische funktion aufstellen.

Wisst ihr wie man das am schnellsten macht ohne viele Schritte?

Answer 1

Hallo Maxi,

Gibt es da keinen schneller Trick?

es kommt natürlich immer auf die genaue Aufgabenstellung und auch auf die Zahlen an. Hier kann man folgendes rechnen:

Die zweite Ableitung einer Parabel ist immer \(y''=2a=-0,1\). Die Steigung der Geraden \(g\) durch \(A\) und \(B\) ist ebenfalls \(g'(x)=-0,1\). Daraus folgt, dass der Scheitel der Parabel genau einen Einheit links neben der Mitte von \(A\) und \(B\) liegt:$$x_s = \frac 12(a_x+b_x) - \frac{g'}{y''} = 10$$Und wenn man nun in$$y(x) = - 0,05(x-10)^2 + y_s$$ den Punkt \(A\) einsetzt, kommt man zu $$y(x=a_x= 20) = - 0,05(20-10)^2 + y_s \implies y_s = 10,5+5 = 15,5$$Also ist$$y(x) = -0,05(x-10)^2 + 15,5 \\ \phantom{y(x)} = -0,05x^2 + x^2 + 10,5$$

~plot~ {20|10.5};{2|12.3};-0.05*x^2+x+10.5;[[-2|24|-2|20]] ~plot~

Ob das nun schneller/besser ist oder nicht sei dahin gestellt ,,,

Nachtrag: evt. ist folgendes einfacher oder zumindest anschaulicher:

Die Steigung einer Sehne der Parabel ist immer identisch zur Steigung der Parabel in der Mitte der beiden Schnittpunkte der Sehne mit der Parabel. Die Steigung der Sehne ist hier \(g'=-0,1\) - daraus folgt$$ \frac 12(a_x+b_x) = 11 \\\\ y'\left(11\right) = 2a \cdot 11 + b = -0,1 \implies b = -0,1 + 2 \cdot 0,05 \cdot 11 = 1$$und danach wieder \(A\) (oder \(B\)) einsetzen wie oben, aber diesmal gleich in die allgemeine Form$$y(20) = -0,05 \cdot 20^2 + 20 + c = 10,5 \implies c = 10,5$$

Gruß Werner

Comments

Nachtrag hinzu gefügt (s.o.).

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Hallo,

Das sind viele Fachbereich die ich nicht richtig verstehe aber ich glaube so geht es schneller wenn man es einmal kann.

Die Steigung einer Sehne der Parabel ist immer identisch zur Steigung der Parabel.

Was ist eine Sehne?

x
s

=
2
1

(a
x

+b
x

)−
y
′′

g
′


=10

Wie kommen sie auf diese Formel?

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Was ist eine Sehne?

Zitat aus Wikipedia:

"Eine Sehne einer ebenen Kurve ist eine Verbindungsstrecke zweier Punkte auf der Kurve."

In diesem Fall eine Strecke (rot) von einem Punkt \(A\) einer Parabel zu einem anderen Punkt \(B\) auf der Parabel

und diese Sehne verläuft immer parallel zur Tangente in einem Punkt \(P\) auf der Parabel, der in der Mitte zwischen \(A\) und \(B\) liegt (horizontal mittig)

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$$x_s = \frac 12(a_x+b_x) - \frac{g'}{y''} $$Wie kommen sie auf diese Formel?

Durch Nachdenken! ;-)
Vor Deiner Frage kannte ich die auch noch nicht. Dazu folgende Zeichnung.

Die Parabel und ihre erste beiden Ableitungen sind$$\begin{aligned} y&= ax^2+bx+c\\ y'&= 2ax + b \\ y' &= 2a\end{aligned}$$ Der Graph der ersten Ableitung ist die blaue Gerade, die zwangsläufig bei der X-Position \(x_s\) des Parabelscheitels eine Nullstelle hat - d.h. dort die X-Achse schneidet. Die zweite Ableitung bzw. Steigung ist die Ableitung eben dieser Geraden und die ist konstant.
Die Mitte der Sehne liegt bei \(x_m = (a_x+b_x)/2\). Wir kennen dort die Ableitung \(y'(x_m)\) bzw. Steigung \(g'\) der Geraden (s. vorheriger Kommentar). Und da die blaue Gerade eben genau der Graph dieser Ableitung ist, ist der Wert der Steigung identisch zu der kleinen lilanen Strecke bei \(x_m\).Also kennt man von dem markieren Dreieck das Verhältnis der Katheten (Steigungsdreieck) und die Länge der senkrechten Kathete. $$y'' = \frac{y'(x_m)}{x_m - x_s} $$Und daraus folgt die Position des Scheitels \(x_s\)$$x_s = x_m - \frac{y'(x_m)}{y''} = \frac 12 (a_x+b_x) - \frac{y'(x_m)}{y''}$$Das \(y'(x_m)\) ist die Steigung der Sehne und somit das \(g'\) aus der Antwort.

Answer 2

Ansatz f(x)=-0,05x²+bx+c.

Punkte A(20/10,5) und B(2/12,3) einsetzen.

Ergibt System von zwei Gleichungen mit den Unbekannten b und c.

System lösen.

Lösungen b und c in den Ansatz einsetzen.

Comments

So habe ich das auch immer gemacht. Das dauert aber irgendwie zu lange. Gibt es da keinen schneller Trick?

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Warum suchst du nach einem Trick? Die Aufgabe ist doch ganz einfach und der Lösungsweg auch nicht besonders lang.

Answer 3

Punkte A(20|10,5) und B(2|12,3) →

Punkte A´(20|0) und B´(2|1,8)

p(x)=-0,05*(x-20)*(x-N)

B´(2|1,8)

p(2)=-0,05*(2-20)*(2-N)

0,9*(2-N)=1,8

2-N=2

N=0

p(x)=-0,05*(x-20)*x

f(x)=-0,05*(x-20)*x+10,5                                   

Comments

Wie kommst du darauf ?

Punkte A(20|10,5) und B(2|12,3) →

Punkte A´(20|0) und B´(2|1,8)

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Ich habe A(20|10,5) und B(2|12,3) um 10,5 Einheiten nach unten verschoben. So habe ich eine Nullstelle und kann mit der Nullstellenform der Parabel p(x)=-0,05*(x-20)*(x-N) weiterrechnen.

Am Schluss deshalb alles wieder um 10,5 Einheiten nach oben verschieben.

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Darf man das machen und funktioniert das bei jeder Aufgabe?

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Ich habe bisher damit keine Probleme bekommen.

Stelle dir mal vor, dass du die Steckbriefaufgabe als Bild mit den ablesbaren Punkten A und B ( ich habe die Werte mal drangeschrieben) lösen sollst.

Es ist ja eine Parabel 3.Grades.

Answer 4

Nur nochmal zum Vergleich mit deiner Lösung

f(x) = - 0.05·x^2 + b·x + c

f(20) = 10.5 --> - 20 + 20·b + c = 10.5 --> 20·b + c = 30.5

f(2) = 12.3 → - 0.2 + 2·b + c = 12.3 --> 2·b + c = 12.5

I - II

18·b = 18 --> b = 1

2·1 + c = 12.5 --> c = 10.5

Also lautet die Funktion

f(x) = - 0.05·x^2 + x + 10.5

Wenn ich mir die anderen Lösungen anschaue, sind die nicht wirklich wesentlich einfacher oder?

Answer 5

Mal sehen, ob das schneller geht.

y1=ax1^2+bx1+c

Subtrahieren:

y2-y1=a(x2^2-x1^2)+b(x2-x1)

b=(y2-y1-a(x2^2-x1^2))/(x2-x1)

b=(y2-y1)/(x2-x1)  - a(x1+x2)

b=(12.3-10.5)/(2-20)-(-0.05)(2+20)

b=1

c=y1-ax1^2-bx1

c=10.5-(-0.05)*20^2-1*20

c=10.5

usw.

:-)