Bedingung,dass 2 Geraden senkrecht aufeinander stehen mn=-1/mt
Indes n=Normale
Index t=Tangente
Schnittpunkt bei xo=0
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
Normalengleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
g´(x)=mt=.. → g´(xo)=g´(0)=mt
f´(x)=mn=... → f´(xo)=f´(0)=mn
mn=-1/mt
Infos
Text erkannt:
Tangente/Normale an \( f(x) \)
Sehr oft wird die Tangentengleichung und/oder die Sormalengleicheng an der Punktion \( f(x) \) gesucht.
xo bexeichnet.
Tangente und Normale uind eine Gerade der Yorm \( y=f(x)=m^{*} x+b \) Formeln aind: "Tangentengleichung" \( y t=f t(x)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x o)+f\left(x_{0}\right) \)
"Normalengleichung" \( \quad y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f(x 0) \)
Her leitung
Geradengleichung \( y-f(x)=\mathrm{m}^{*} x+b \) und xo ist die Stelle, wo die Tan8ente/sormale 1iegen sol1 segeben ist die Puktion \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \).
Stelgung "m" an der Stel1e "xo" ist m-f' \( (x o) \) diese ist die 1.te Ableitung der Punktion \( \mathrm{f}(x) \),also \( f^{\prime}(x) \).
ergtbt \( y \mathrm{t}=f t(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( x=x \circ \) und gleichgesetzt \( f\left(x_{0}\right)=y t \)
\( f(x \circ)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x_{0}+b \) ergibt \( b-f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x_{0} \)
a1so \( \underline{y t-f t(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x \circ=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)} \)
selber Rechenvee wit der Normalengleichung mit \( y=f(x)=m^{*} x+b \)
Bedingung fur eine Normale \( m 2=-1 / \mathrm{m} 1 \) hier ist \( \mathrm{ml}=\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{xo}) \)
efngesetzt \( y n=f_{n}(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b=1 t \quad b-f\left(x_{0}\right)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x_{0} \)
ergibt \( y n=f_{n}(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+f\left(x_{0}\right)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x o=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right) \)
Ubungsbeispie:
gegeben:Die Punktion \( y=f(x)=x^{2} \) ist eine Parabel
gesucht:Die Tangentengleichurg und die Normalengleichung an der Stelle \( x_{0}=2 \) Lösung: \( f(x)=x^{2} \) abgeleitet \( f^{\prime}(x)=2^{*} x \) mit \( x 0=2 \) ergibt \( f(2)=2^{2}=4 \)
\( f^{\prime}(2)=2^{*} 2=4 \) Werte in die Pormeln eingesetzt
"Tangentengleichung" yt-ft \( (x)=4^{*}(x-2)+4=4^{4} x-8+4=4 * x-4 \)
"Sormaleng leichung" \( y n=f n(x)=-1 / 4^{*}(x-2)+4 m-1 / 4^{*} x+1 / 2+4=-1 / 4 * x+4,5 \)
