Wie werden die Aussagen bewiesen?

Question

Aufgabe:

Seien A und B Teilmengen einer Menge X. Beweisen Sie allgemein die Richtigkeit der Aussagen (a)bis (c) oder widerlegen Sie die entsprechende Aussage durch Angabe eines konkreten Gegenbeispiels.

a) X\(A∩B) = (X\A)∩(X\B)

b) X\(A∪B) = (X\A)∪B
c) (A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B)

Wenn sich jmd. finden würde, der mir das herleiten könnte, wäre toll.

Problem/Ansatz:

Bisher noch keinen.

Wir haben dieses Thema neu angefangen aber ich stehe da total auf dem Schlauch, weil ich absolut nicht weiß wie ich das beweise.

Wenn sich jmd. finden würde, der mir das herleiten könnte, wäre toll.

Answer 1

Mit Mengendiagrammen findest du heraus, dass a) und b) falsch sind. Finde konkrete Gegenbeispiele.

Außerdem sieht man mit Mengendiagrammen auch, dass c) richtig ist.

Mengengleichheiten M = N zeigt man, indem man M ⊆ N und N ⊆ M zeigt.

Zu (A\B)∪(B\A) ⊆ (A ∪ B)\(A ∩ B): Sei x ∈ (A\B)∪(B\A). Dann ist x ∈ (A\B) oder x ∈ (B\A).

Sei o.B.d.A x ∈ (A\B). Dann ist

        x ∈ A und x ∉ B.

Also ist auch

        x ∈ A ∪ B und x ∉ A ∩ B

und somit

        x ∈ (A ∪ B)\(A ∩ B).

Zeige ebenso (A ∪ B)\(A ∩ B) ⊆ (A\B)∪(B\A).

Comments

Erstmal danke für die Antwort.

Ich werde dass dann mal versuchen als Mengendiagramm dazustellen

Eine Frage hätte ich noch, weil das Thema komplett neu ist, und dass die ersten Aufgaben sind dazu.

Und zwar gehe ich recht der Annahme aus, dass X, bei a&b eine Menge im Diagramm darstellt, wie A,B oder C ?

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Ja. Desahlb wirst du wohl Venn-Diagramme mit drei Mengen brauchen.