Hallo ,
Doch Ich meinte
p: \(a_n = \frac{2n+4}{n+1}\)
Du sollst zunächst mal eine begründete Vermutung bezüglich des Grenzwerts aufstellen. Eine einfache Methode in Zeiten vieler elektronischer Helfer besteht darin, sich die Funktion $$a(n) = \frac{2n+4}{n+1}$$anzeigen zu lassen:
~plot~ (2x+4)/(x+1);[[-1|60|-1|5]];2 ~plot~
nach hinten raus - also zu großen Werten von \(n\) scheint der Wert nach \(2\) zu laufen. Das ist die rote Horizontale oben. Zum Untermauern der Vermutung wandele ich das mal um:$$a_n = \frac{2n+4}{n+1} = \frac{2(n+1)+2}{n+1} = 2 + \frac 2{n+1}$$und wenn man nun den Grenzwert von \(n \to \infty\) betrachtet:$$\lim_{n \to \infty} \left( 2 + \underbrace{\left( \frac 2{n+1}\right)}_{\to 0}\right) \stackrel ?= 2$$dann besteht der aus einer Summe, von der der zweite Summand mit größer werdenden \(n\) immer kleiner wird, also gegen \(0\) geht. Und somit wird wohl die \(2\) übrig bleiben.
... beweise anschließend dessen Richtigkeit
Jetzt wird's mathematisch ;-) Wie man so einen Beweis ausführt ist z.B. hier ganz gut erklärt.
Zuerst muss klar definiert sein, was zu beweisen ist. Zu beweisen ist die Konvergenz und die ist wie folgt definiert:
Die Folge \(a_n\) konvergiert genau dann gegen \(2\) wenn es zu jedem \(\epsilon \gt 0\) eine Zahl \(n=N\) gibt, so dass für alle \(n \ge N\) gilt, dass \(|a_n - 2| \lt \epsilon\) ist.
Also wir denken uns ein ganz kleines \(\epsilon\) z.B. \(\epsilon = 0,001\) und suchen nun ein \(N\), so dass gilt$$|a_n - 2| \lt \epsilon \quad n \ge N$$aus dem obigen wissen wir schon, dass \(a_n-2 = 2/(n+1)\) ist und die Betragsstriche können wir auch weg lassen, da der Ausdruck \(2/(n+1)\) für \(n \in \mathbb N\) immer positiv ist. Daraus folgt dann$$\begin{aligned}\frac 2{n+1} &\lt \epsilon && n \ge N \\ 2 &\lt \epsilon(n+1) \\ 2-\epsilon &\lt \epsilon n \\ \frac{2-\epsilon}{\epsilon} &\lt n \end{aligned}$$D.h. wenn man sich ein \(N\) wählt, wo gilt $$\frac{2-\epsilon}{\epsilon} \lt N \le n$$dann ist \(|a_N-2| \lt \epsilon\) und das gilt für alle \(n \ge N\).
Und dieses \(N\) findet sich immer für jedes \(\epsilon \gt 0\). Für \(\epsilon = 0,001\) wäre das \(N=2000\). Und damit ist bewiesen, dass \(a_n\) gegen \(2\) konvergiert.
