Berechnen Sie den Grenzwert von der folgenden Teleskopsumme

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Berechnen Sie den Grenzwert
$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} . $$

formen Sie eine Behauptung und
schreiben Sie einen Beweis.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Forme die Summe zuerst etwas um:$$\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+1}=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^{N+1}\frac{1}{n}$$$$\phantom{\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)}}=\left(\frac{1}{1}+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}\right)-\left(\sum\limits_{n=2}^{N}\frac{1}{n}+\frac{1}{N+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}$$

Damit gilt für den Grenzwert:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}=\lim\limits_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{N+1}\right)=1$$

Answer 2

Es gilt \( \frac{1}{n(n+1)} \)= \( \frac{1}{n} \)- \( \frac{1}{(n+1)} \)