Berechnen Sie die Bogenlänge

Question

Aufgabe:

Wir betrachten eine Kurve im ℝ^2 mit Parametrisierung.

f : ℝ → ℝ^2, t ⟼ (e^t cos(t) über e^t sin(t))

Berechnen Sie die Bogenlänge L_a,b der durch die Einschränkung

f_|[a,b] parametrisierten Kurve für alle a, b ∈ ℝ mit a < b.

Existiert lim_a→-∞ L_a,0?

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Mathe-Freunde,

ich komme leider überhaupt nicht weiter. Ich verstehe nicht, wie ich die Bogenlänge berechnen kann und ich verstehe nicht was parametrisiert heißt und was es mit der Einschränkung auf sich hat. :-( Ich bin für Hilfe sehr dankbar.

Comments

Die Kurve ist eine logarithmische Spirale. Siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmische_Spirale.

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Danke ! Das werde ich mir auf jeden Fall in Ruhe anschauen.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$L(a;b)=\int\limits_{\vec f(a)}^{\vec f(b)}df=\int\limits_{\vec f(a)}^{\vec f(b)}\left|d\vec f\right|=\int\limits_a^b\left|\frac{d\vec f(t)}{dt}\right|\,dt=\int\limits_a^b\left|\begin{pmatrix}e^t\cos t-e^t\sin t\\e^t\sin t+e^t\cos t\end{pmatrix}\right|dt$$$$\phantom{L(a;b)}=\int\limits_a^be^t\sqrt{(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2}\,dt=\int\limits_a^be^t\sqrt{2\cos^2t+2\sin^2t}\,dt$$$$\phantom{L(a;b)}=\int\limits_a^be^t\sqrt2\,dt=\left[\sqrt2\,e^t\right]_a^b=\sqrt2\left(e^b-e^a\right)$$

Für den zu untersuchenden Grenzwert gilt:$$L(-\infty;0)=\lim\limits_{a\to-\infty}\sqrt2\left(e^0-e^a\right)=\sqrt2\cdot\lim\limits_{a\to{-\infty}}(1-e^a)=\sqrt2\cdot1=\sqrt2$$

Comments

Hallo Tschakabumba,

cool, vielen Dank für die schnelle Antwort!

Könnest du mir vielleicht noch die einzelnen Schritte erklären. Das ist mir leider noch nicht klar.

Answer 2

Hallo

ich hab dir mal die Kurve von 0 an bis 3pi geplottet. eine Spirale , die aber sehr schnell groß wird.

Kurven in 2d oder 3 d wer den eigentlich immer als Parameterkurven gegeben, jeder Punkt (x,y) wird durch den Parameter t bestimmt.

also für t=0 hast du den Punkt (e^0cos(0,e^0,sin(0))=(1,0) für t=pi/2 dann (0, 4,8) usw

Dann sieht man die Formel für Kurvenlänge nach und findet

$$\int \limits_{a}^{b}|\gamma'(t|dt \text{ wobei} \gamma'(t) \text{  der Ableitungsvektor von dem Kurvevenvektor ist.}$$

Gruß lul

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Hallo lul,

vielen Dank für Deine Antwort.

Dein Beispiel hat mir geholfen, die ganze Sache etwas besser zu verstehen!