Direkte Summe nachweisen.

Question

Aufgabe:

folgendes Problem:

Ich habe K(ℝ,ℝ) gegeben, was die Menge aller Funktionen ist. Und dann noch U(ℝ,ℝ), die Menge aller ungeraden Funktionen und G(ℝ,ℝ), die Menge aller geraden Funktionen. Und nun würde ich gerne zeigen, dass K(ℝ,ℝ) die direkte Summe von U(ℝ,ℝ) und G(ℝ,ℝ) ist. (Direkte Summe: Seien k∈K(ℝ,ℝ) und u∈U(ℝ,ℝ) und g∈G(ℝ,ℝ), dann ist jedes k eindeutig darstellbar, durch k = u + g und der Schnitt von G und U muss G ∩ U = {0} sein.)

Problem/Ansatz:

Also ich würde jetzt versuchen, das was ich oben in die Klammer geschrieben habe, also die Definition einer direkten Summe, zu beweisen. Nur weiß ich nicht so ganz wie... Kann mir da jemand helfen? Falls es hilft: Ich weiß, dass bei geraden Funktion gilt g(-x)=g(x) und bei ungeraden u(-x) = -u(x).

Answer 1

Seien f ∈ K(ℝ,ℝ), u: x ↦ ½(f(x) - f(-x)) , g: x ↦ ½(f(x) + f(-x)).

Dann ist u ∈ U(ℝ,ℝ), g ∈ G(ℝ,ℝ) und f = u+g.

der Schnitt von G und U muss G ∩ U = {0} sein.

Das ist äquivalent zu der Eindeutigkeit des Darstellung. Du brauchst also nicht beides zu zeigen und in diesem Fall finde ich G ∩ U = {0} einfacher.

Comments

Aber können wir, wenn zwei Untervektorräume als Schnitt {0} haben, immer darauf schließen, dass wirklich JEDES Element von K abgebildet werden kann? Also könnte es nicht auch sein, dass sie zwar als Schnitt {0} haben aber addiert nicht den ganzen Vektorraum K abbilden? Also in diesem Beispiel ist es mir vom logischen klar, dass alle geraden und ungeraden zusammen alle Funktionen ergeben. Aber ich dachte allgemein könnte es auch mal nicht so sein. Hoffe die Frage ist einigermaßen verständlich...

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Aber können wir, wenn zwei Untervektorräume als Schnitt {0} haben, immer darauf schließen, dass wirklich JEDES Element von K abgebildet werden kann?

Besser "dass wirklich JEDES Element von K dargestellt werden kann"

Noch besser "dass wirklich jedes Element von K dargestellt werden kann". Betonungen zeigt man am besten durch Kursivschrift an. Großbuchstaben sind für Schreien reserviert :-)

Du hast aber recht, natürlich muss gezeigt werden, dass jedes Element von K eine Summe aus einem Element aus U und einem Element aus G ist. Dazu ist der erste Teil meiner Antwort da.