Folgenkriterium für abgeschlossene Mengen

Question

Aufgabe: Folgenkriterium für abgeschlossene Mengen

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe. Ich weiß leider absolut nicht wie ich mit Hilfe des Satzes dies zeigen soll.

Text erkannt:

Folgenkriterium für abgeschlossen Mengen Seien \( f, g \in \mathbb{C}^{0}([a, b]) \) auf \( [a, b] \) stetige Funktionen mit \( f(x) \leq g(x) \) für alle \( x \in[a, b] \). Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes \( 2.6 \), dass die Menge
$$ A:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid a \leq x \leq b, f(x) \leq y \leq g(x)\right\} $$
abgeschlossen ist.

Text erkannt:

Satz 2.6. Sei \( (X,\|\cdot\|) \) ein normierter Raum und \( M \subseteq X . \) Dann gilt: \( M=\left\{x \in X \mid x=\lim \limits_{i \rightarrow \infty} a_{i}\right. \), wobei \( \left.\left(a_{i}\right)_{\in \mathrm{N}} \subseteq M\right\} \Longleftrightarrow M \) abgeschlossen ist.

Beweis i) Sei \( M \) abgeschlossen, d.h. \( M^{c} \) offen. Sei \( x=\lim \limits_{i \rightarrow \infty} a_{i} \), wobei \( \left(a_{i}\right)_{\in \mathbb{N}} \subseteq M . \) Dann gilt \( \left\|x-a_{i}\right\| \rightarrow 0 \) für \( i \rightarrow \infty \). Falls \( x \in M^{c} \) dann existiert ein \( \varepsilon>0 \) s.d. \( B_{\varepsilon}(x) \subseteq M^{c} \), da \( M^{c} \) offen ist. Aber \( \left\|x-a_{i}\right\|<\varepsilon \) für \( i \) groß genug impliziert \( B_{\varepsilon}(x) \cap M \neq \emptyset \). Widerspruch. D.h. \( \left\{x \in X \mid x=\lim \limits_{i \rightarrow \infty} a_{i}\right. \), wobei \( \left.\left(a_{i}\right)_{\in \mathrm{N}} \subseteq M\right\} \subseteq M . M \subseteq\left\{x \in X \mid x=\lim \limits_{i \rightarrow \infty} a_{i}\right. \), wobei
\( \left.\left(a_{i}\right)_{\in \mathbb{N}} \subseteq M\right\} \) folgt, in dem wri \( a_{i}=X \) fürt alle \( i \in \mathbb{N} \) setzen. D.h. \( M=\left\{x \in X \mid x=\lim \limits_{i \rightarrow \infty} a_{i}\right. \)
wobei \( \left.\left(a_{i}\right)_{\in \mathrm{N}} \subseteq M\right\} \)
(ii) Sei \( M=\left\{x \in X \mid x=\lim \limits_{i \rightarrow \infty} a_{i}\right. \), wobei \( \left.\left(a_{i}\right)_{\in \mathrm{N}} \subseteq M\right\} \), und sei \( y \in M^{c} . \) Falls \( B_{1 / i}(y) \cap M \neq \emptyset \)
für alle \( i \in n \), dann existiert ein \( y_{i} \in M \) s.d. \( y_{i} \rightarrow y \) und folglich gilt \( y \in M \) : Widerpsruch.
D.h. \( B_{1 / i}(y) \cap M=\emptyset \) für ein \( i \in N \) und folglich \( M^{c} \) ist offen, d.h. \( M \) ist abgeschlossen. \( \square \)

Answer 1

Hallo,

wenn \(f\) stetig ist, dann ist \(f\) insbesondere folgenstetig, d. h:

\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) heißt folgenstetig in \(u\in X\) genau dann, wenn für jede Folge \((x_n)\subset X\) gilt:$$\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}x_n=u\implies \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(u)}$$ Nutze diesen Satz in Kombination mit dem Satz vom Minimum und Maximum, nach dem jede stetige Funktion über einem kompakten Intervall \([a,b]\) ihr Maximum und Minimum annimmt.

Comments

Danke erstmal für deine Antwort!

Mein Problem ist das ich irgendwie nicht den Anfang hinbekomme..

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Du musst zeigen, dass jede Folge \((u_n,v_n)\in A\) ihren Grenzwert \((u,v)\in A\) hat. Hier kannst du damit arbeiten, dass wenn \(u_n\to u\in [a,b]\) geht, dass das auch für die Funktionen gilt (Folgenstetigkeit). Du musst nur ein paar Feinheiten beachten - da habe ich dir den Hinweis mit dem Satz von Maximum und Minimum gegeben.