Zeigen Sie, dass {x^3 − x^2, x^3 − x} eine Basis für den Unterraum

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass \(\{x^3 − x^2, x^3 − x\}\) eine Basis für den Unterraum

\(W = \{p\in \mathbb{R}_3[x]: \space p(0) = p(1) = 0\}\)

von \(\mathbb{R}_3[x]\) ist. Ergaenzen Sie diese Basis zu einer Basis für \(\mathbb{R}_3[x]\) und finden Sie somit ein Komplement von \(W\) in \(\mathbb{R}_3[x]\).


[Hinweis: Eine \(n\times n\) Matrix \(A = (a_{ij})_{i,j=1,...,n}\) heißt symmetrisch, falls \(a_{ij} = a_{ji}\) für alle \(i, j = 1, . . . ,n\) gilt.]

Answer 1

Hallo :-)

Zeige doch erstmal, dass die Menge \(\{x^3 − x^2, x^3 − x\}\) überhaupt die Bedingung von \(W\) erfüllt. Dann kannst du per Koeffizientenvergleich zeigen, dass sich für ein beliebiges Polynom \(p\) aus \(W\) die Darstellung \(p(x)=\alpha\cdot (x^3-x^2)+\beta\cdot (x^3-x)\) finden lässt.

Die Lineare Unabhängigkeit zeigst du im Wesentlichen auch durch Koeffizientenvergleich.

Zum Komplement von \(W\) in \(\mathbb{R}_3[x]\) kann man sich ja \(W\) etwas ander hinschreiben:

\(W = \{p\in \mathbb{R}_3[x]: \space p(0) = p(1) = 0\}=\{p\in \mathbb{R}_3[x]: \space p(0) =0\space \land \space p(1) = 0\}\).

Jetzt betrachtest du mal ein Polynom \(p\in \mathbb{R}_3[x]\setminus W\). Was kannst du jetzt über dieses \(p\) aussagen?