Kompaktheit einer Menge beweisen

Question

kann mir jemand helfen und einen Rat geben, wie ich zeigen kann, dass f(K) kompakt ist, wenn K ⊂ M kompakt und f:M → ℝ, M ⊆ ℝ stetig ist?

Ich weiß zwar, dass wenn jede Folge in K eine konvergente Teilfolge besitzt, mit einem Grenzwert in K, dann ist eine Menge in ℂ kompakt.

Wie kann ich das anwenden?

Vielen Dank vorab!

Answer 1

Nehme eine Folge aus deiner Bildmenge xn aus f(K), dann existiert ein yn aus K mit f(yn)=xn, was weißt du über dein yn aus K?

Dann verwende anschließend noch das Folgenkriterium für stetigkeit also wenn eine Folge aus K gegen x konvergiert dann konvergiert schon deine Folge f(die Folge) gegen f(x)