Aloha :)
Bei der Berechnung dieses Arbeitsintegrals hilft dir der Satz von Stokes nicht wirklich weiter, sondern du brauchst eine geeignete Parametrisierung des Weges. Teile den Weg in 2 Etappen auf. Die erste Etappe \(C_1\) ist die Gerade$$C_1\colon \vec r=\binom{t}{t-1}\quad;\quad t\in[0;1]$$und die zweite Etappe \(C_2\) ist der 3/4-Kreis$$C_2\colon\vec r=\binom{\cos t}{\sin t}\quad;\quad t\in\left[0\,;\,\frac{3\pi}{2}\right]$$
Damit bist du eigentlich schon fertig:
$$E=\oint\limits_{C}\vec F\,d\vec r=\int\limits_0^1\vec F(x(t),y(t))\,\frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt+\int\limits_0^{3\pi/2}\vec F(x(t),y(t))\,\frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^1\binom{-(t-1)}{t}\binom{1}{1}\,dt+\int\limits_0^{3\pi/2}\binom{-\sin t}{\cos t}\binom{-\sin t}{\cos t}\,dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^1(-(t-1)+t)dt+\int\limits_0^{3\pi/2}(\sin^2t+\cos^2t)dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^1dt+\int\limits_0^{3\pi/2}dt=1+\frac{3\pi}{2}$$
