Aloha :)
Du hast die Rekursionsgleichung bereits richtig erkannt:$$a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}$$Unter der Annahme, dass diese Folge gegen einen Grenzwert \(a\) konvergiert, kannst du wie folgt rechnen:
$$ \left.a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}\quad\right|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots) \\ \left.\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{1+a_n}\quad\right|\text{Grenzwertsätze} \\ \left.\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\sqrt{1+\lim\limits_{n\to\infty} a_n}\quad\right|a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} \\ \left.a=\sqrt{1+a}\quad\right|(\cdots)^2 \\ \left.a^2=1+a\quad\right|-a \\ \left.a^2-a=1\quad\right|+\frac{1}{4} \\ \left.a^2-a+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\quad\right|\text{2-te binomische Formel links} \\ \left.\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\quad\right|\sqrt{\cdots} \\ \left.a-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt5}{2}\quad\right|+\frac{1}{2} \\ a=\frac{1\pm\sqrt5}{2} $$
Die negative Lösung fällt weg, da die Wurzelfunktion aus der Rekursionsgleichung stets positive Ergebnisse liefert. Also ist der gesuchte Wert: $$a=\frac{1+\sqrt5}{2}$$
