Differentialrechnung erste Ableitung

Question

Allgemein: Bestimmen Sie für die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{2}+2 x \) die Steigung in einem beliebigen Punkt \( P\left(x_{0} / f\left(x_{4}\right)\right) \) der Funktion. Anders ausgedrückt: Bestimmen Sie die Ableitung \( f^{\prime}\left(x_{0}\right) \).

Ergänzen Sie die Lücken.

Ansatz: \( \mathrm{P}_{4}\left(x_{0} / f\left(x_{0}\right)\right) \) und \( \mathrm{P}_{2}\left(\mathrm{x}_{0}+\mathrm{h} / ... \right) \) sowie h-Methode.

Differenzenquotient:

\( \frac{f\left(x_{2}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} = \frac{\left(x_{n}+h\right)^{2}+2\left(x_{p}+h\right)-([\textcolor{#00F}{2}])}{h} \)

Beim Differenzenquotient habe ich 2x_{0}+h+2 raus. Soll ich beim Grenzwert jetzt für x_{0} die 2x0 einsetzen?

Answer 1

Ich schreib das ganze mal so hin wie in dem Buch. Die "Lückenfüller" setze ich dabei in violett.

Ansatz: P₁( x₀ | f ( x₀ ) ) und P₁( x₀+ h  | f ( x₀ + h ) ) sowie h-Methode

Differenzenquotient :

[ f ( x₀ + h ) - f ( x₀ ) ] / h = [ ( x₀+ h ) ² + 2  ( x₀+ h ) - ( ( x₀ ) ² + 2 ( x₀ ) ) ] / h

= [ x₀² + 2 x₀h + h² + 2 x₀ + 2 h - x₀² - 2 x ₀] / h

= [ 2 x₀ h + 2 h + h ² ] / h

= h * ( 2 x₀ + 2 + h ) / h

= 2 x₀ + 2 + h

Grenzwert des Differenzenquotienten:

f ' ( x₀ ) = lim _{h -> 0} [ f ( x₀ + h ) - f ( x₀ ) ] / h

= lim _{h -> 0} 2 x₀ + 2 + h

= 2 x₀ + 2

Und hier kannst du nun für x₀ irgendeinen Wert einsetzen und erhältst dadurch den Wert der Ableitung an der Stelle x₀ , also die Steigung von f an dieser Stelle.

Beispiel:

x₀ = 3

f ' ( 3 ) = 2 * 3 + 2 = 8

Die Funktion f hat also an der Stelle x₀ = 3 die Steigung 8.