Aloha :)
Wir betrachten die Funktion$$f(x;y)=6x^2+6xy+4y^2\quad;\quad a=(5;1)\;;\;x,y\ge0$$und benötigen im Folgenden ihr totales Differential$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=(12x+6y)dx+(6x+8y)dy$$Speziell an der Stelle \(a\) gilt:$$f(5;1)=185\quad;\quad df(5;1)=66\,dx+38\,dy$$
zu a) Da das Niveau von \(f\) beibehalten werden soll, gilt:$$0\stackrel!=df(5;1)=66\,dx+38\,dy\quad\implies\quad dy=-\frac{66}{38}\,dx=\boxed{-\frac{33}{19}\,dx}$$
zu b) \(x\) erhöht sich um \(\Delta x=0,35\). Die exakte Änderung \(\Delta y\) von \(y\) ist noch unbekannt, soll aber so groß sein, dass sich das Niveau von \(f\) nicht ändert:$$185=f(5;1)\stackrel!=f(5+0,35\;;\;1+\Delta y)=f(5,35;1+\Delta y)\implies$$$$185=6\cdot5,35^2+6\cdot5,35(1+\Delta y)+4(1+\Delta y)^2\implies$$$$185=171,735+32,1+32,1\Delta y+4+8\Delta y+\Delta y^2\implies$$$$0=22,935+40,1\Delta y+4(\Delta y)^2\implies$$$$(\Delta y)^2+10,025\Delta y+5,70875=0\implies$$$$\Delta y=-5,0125\pm\sqrt{19,41640625}\implies$$$$\Delta y=-0,606095\;\lor\;\Delta y=-9,418905$$Da wir \(y_a=1\) ist und wir \(y\ge0\) annehmen sollen, fällt die zweite Änderungs-Möglichkeit weg, es bleibt:$$\boxed{\Delta y=-0,606095}$$
zu c) Hier brauchen wir nur in das Ergebnis von a) einzusetzen:$$\Delta y\approx-\frac{33}{19}\cdot0,35=\boxed{-0,607895}$$
