Beweisen Sie, dass für ... die folgenden Tatsachen gelten:

Question

Beweisen Sie, dass für \( p(X), q(X) \in \mathbb{R}[X] \backslash\{0\} \) die folgenden Tatsachen gelten:
(i) \( \operatorname{grad}(p(X) \cdot q(X))=\operatorname{grad}(p(X))+\operatorname{grad}(q(X)) \)
(ii) \( \operatorname{grad}(p(X)+q(X))=\max \{\operatorname{grad}(p(X)), \operatorname{grad}(q(X))\} \), falls \( \operatorname{grad}(p(X)) \neq \operatorname{grad}(q(X)) \)
(iii) \( \operatorname{grad}(p(X)+q(X)) \leq \max \{\operatorname{grad}(p(X)), \operatorname{grad}(q(X))\} \).

Answer 1

Stelle dir die beiden Polynome erst mal dar, etwa so:

$$p(x)=a_0+a_1*x+a_2*x^2+...+a_n*x^n $$

$$ q(x)=b_0+b_1*x+b_2*x^2+...+b_k*x^k$$

Mit n,k ∈ℕ_o und a_n und b_k ungleich 0.

(Beachte: Beide sind nicht das Nullpolynom).

zu (i)   Der Grad von p(x)*q(x) wird durch a_n*x^n * b__k*x^k bestimmt,

Und wegen a_n*b_k ≠ 0 ist also der Grad n+k.

zu (ii) Grad der beiden verschieden, ist also n>k oder k>n,

also bleibt bei der Summe p(x)+q(x) als Summand mit

dem höchsten Exponenten bei x gerade a_nx^n oder b_kx^k

und damit hat die Summe als Grad, den größeren der beiden

Einzelgrade.

(iii) Falls die Grade gleich sind, kann zwar bei der Summe kein

Summand mit einem Exponenten größer als dieser

Grad entstehen, wohl aber kann es sein ( wenn a_n=-b_n), dass

nur kleinere entstehen, also der Grad der Summe kleiner wird.