Zeigen Sie, dass für i, j=1, \ldots, n folgende Beziehungen gelten:

Question

Aufgabe:

Sei \( A=\left[a_{i j}\right] \in \mathbb{R}^{n, n} \) symmetrisch positiv semidefinit. Zeigen Sie, dass für \( i, j=1, \ldots, n \) folgende Beziehungen gelten:
(i) \( \left|a_{i j}\right| \leq \frac{1}{2}\left(a_{i i}+a_{j j}\right) \)
(ii) \( \left|a_{i j}\right| \leq \sqrt{a_{i i} a_{j j}} \)
(iii) \( \max \left|a_{i j}\right|=\max a_{i i} \)
(iv) Aus \( a_{i i}=0 \) folgt \( a_{i j}=a_{j i}=0 \).

Problem/Ansatz:

Kann mir wer einen Tipp geben wie ich es am besten bei der Aufgabe vorgehe

Comments

Sieh dir das mal für n=2 und 3 an, dann siehst du wie es läuft. b) folg aus geometrisches Mittel <arithmetisches Mittel wenn du a hast.

Gruß lul

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Tipp zu (i): Für alle \(v\in\mathbb R^n\) gilt \(v^\top\!Av\ge0\).
Insbesondere gilt \((e_i+e_j)^\top\!A(e_i+e_j)\ge0\) und \((e_i-e_j)^\top\!A(e_i-e_j)\ge0\),
wobei \(e_k\) der \(k\)-te kanonische Einheitsvektor ist.