Die Assoziativität gilt nicht. Man kann ja keine Rechenoperation durchführen.
Auch wenn \(m(a,b)\) für dich nicht wie eine Rechenoperation aussieht, ist es eine. Es ist nämlich eine Abbildung mit Definitionsmenge \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) und Zielmenge \(\mathbb{Z}\). Mehr wird für eine Rechenoperation nicht benötigt.
Die Assoziativität gilt. Es ist nämlich
\(m(m(a,b),c) = m(a,c) = a\)
und
\(m(a,m(b,c)) = m(a,b) = a\).
Es gibt aber kein neutrales Element. Ist nämlich \(n\neq a\), dann ist
\(m(n,a)=n\neq a\),
also ist \(n\) nicht neutral.
Im Fall: b>a ist die Wurzel nicht definiert.
Doch, ist sie. Es ist \(b^2 \geq 0\) und \(a^2 \geq 0\), also ist auch \(a^2+b^2 \geq 0\).
Es gibt aber auch hier kein neutrales Element, weil \(m(-1, a)\neq -1\) für alle \(a\in\mathbb{R}\) ist.