Wie bestimmt man den Vektor u?

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 4: Bestimmen Sie einen von Null verschiedenen Vektor \( \vec{u}=(x, y)^{t} \) derart, dass \( A \cdot \vec{u}=3 \cdot \vec{u} \) gilt mit
$$ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{array}\right) . $$

Problem/Ansatz:

Wie bestimmt man den Vektor u?

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Aufgabe 4 :
$$ \begin{array}{r} A \cdot \vec{u}=3 \cdot \vec{u} \Longleftrightarrow\left(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)=3 \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \Longleftrightarrow \begin{array}{c} x+3 y=3 x \\ 4 x-3 y=3 y \end{array} \Rightarrow \\ -2 x+3 y=0 \quad \Rightarrow \quad 0=0 \\ 4 x-6 y=0 \quad 4 x-6 y=0 \end{array} $$
Ein möglicher Vektor ist \( \vec{u}=(3,2)^{t} \). Alle anderen möglichen Vektoren \( \vec{u} \) sind Vielfache von \( (3,2)^{t} \).

Verstehe auch nicht wirklich, was in der Lösung gemacht wurde.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Welches \(\iff\) oder \(\implies\) verstehst du nicht?

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Verstehe auch nicht wirklich, was in der Lösung gemacht wurde.

Das Gleichungssystem wurde so umgeformt, dass in beiden Gleichungen rechts =0 steht.

Was jetzt aussieht wie ein System mit ZWEI Gleichungen:

-2x+3y=0

4x-6y=0

ist in Wirklichkeit nur eine einzige Gleichung, denn die zweite Gleichung erhält man, wenn man die erste mit -2 multipliziert.

Die Lösungsmenge sind also alle Paare (x,y), für die -2x+3y=0 gilt.

Das gilt offensichtlich für x=3 und y=2.

Es gilt aber auch für x=30 und y=20

oder für x=1,5 und y=1 oder ... oder ... oder ...

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Ah dankee jetzt verstehe ich es :D

Answer 1

Wie bestimmt man den Vektor u?

Indem man die Gleichung \( A \cdot \vec{u}=3 \cdot \vec{u} \) löst.

Comments

Danke erstmal, aber ich verstehe nicht ganz, wie man die Gleichung lösen soll,

Text erkannt:

\( \begin{array}{rl}-2 x+3 y & =0 & 0=0 \\ 4 x-6 y & =0\end{array} \Rightarrow 4 x-6 y=0 \)

Diesen Schritt verstehe ich nicht recht, wie kommt 0=0 zustande? wie kann man daraus ableiten, dass

Text erkannt:

\( \vec{u}=(3,2)^{t} \)

Text erkannt:

\( \vec{u}=(3,2)^{t} \

gilt?

:)

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wie kommt 0=0 zustande?

Zum Doppelten der ersten Gleichung wurde die zweite Gleichung addiert.

wie kann man daraus ableiten, dass \( \vec{u}=(3,2)^{t} \)

Man setzt \(3\) für \(x\) in die Gleichung

        \(4x-6y = 0\)

ein und löst nach \(y\) auf.

Answer 2

Das System

(1) 3+4y=2x

(2) 4x-3y=3y

hat unendlich viele Lösungen. Für alle gilt x=\( \frac{3}{2} \)y. Dann ist \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) insbesondere \( \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix} \) sowie alle Vielfachen davon.