Entscheidung darüber, ob diese Verknüpfungen Gruppen sind oder nicht

Question

Aufgabe: Entscheiden Sie, ob es sich um eine Gruppe handelt:

(a) $$\mathbb{Z} \text{ mit der Verknüpfung m(a,b) = a }$$

(b) $$\mathbb{R} \text{ mit der Verknüpfung m(a,b) =}  \sqrt{a^2+b^2}$$

Problem/Ansatz:

Hallo, wir haben als Aufgabe erhalten, zu entscheiden, ob diese zwei Verknüpfungen jeweils eine Gruppe sind. Wir haben gelernt, dass eine Gruppe drei Eigenschaften hat: 1.) Assoziativität gilt, 2.) Es existiert ein neutrales Element und 3.) es existiert für alle x aus der Gruppe ein Inverses. Eigentlich habe ich es verstanden, ich wollte aber nochmal sichergehen, dass ich die richtige Gedanke hatte.

Zur (a): Die Assoziativität gilt nicht. Man kann ja keine Rechenoperation durchführen. Ergo ist es keine Gruppe
Zur (b): Im Fall: b>a ist die Wurzel nicht definiert. Ergo kann es keine Gruppe sein
Liege ich richtig, oder hab ich einen Denkfehler?

Answer 1

Die Assoziativität gilt nicht. Man kann ja keine Rechenoperation durchführen.

Auch wenn \(m(a,b)\) für dich nicht wie eine Rechenoperation aussieht, ist es eine. Es ist nämlich eine Abbildung mit Definitionsmenge \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) und Zielmenge \(\mathbb{Z}\). Mehr wird für eine Rechenoperation nicht benötigt.

Die Assoziativität gilt. Es ist nämlich

        \(m(m(a,b),c) = m(a,c) = a\)

und

        \(m(a,m(b,c)) = m(a,b) = a\).

Es gibt aber kein neutrales Element. Ist nämlich \(n\neq a\), dann ist

        \(m(n,a)=n\neq a\),

also ist \(n\) nicht neutral.

Im Fall: b>a ist die Wurzel nicht definiert.

Doch, ist sie. Es ist \(b^2 \geq 0\) und \(a^2 \geq 0\), also ist auch \(a^2+b^2 \geq 0\).

Es gibt aber auch hier kein neutrales Element, weil \(m(-1, a)\neq -1\) für alle \(a\in\mathbb{R}\) ist.

Comments

Ah, vielen Dank. Ich sehe jetzt, weshalb ich bei der (a) irritiert war. Ich habe gedacht, dass eine Verknüpfung immer eine der gängigen Rechenoperationen sein muss. Scheinbar nicht.

zu deiner Argumentation über das neutrale Element in (b): Habe ich richtig verstanden, dass du damit meinst, dass es in dieser Verknüpfung mit den reellen Zahlen kein a,b existieren, sodass sie -1 ergeben?

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dass es in dieser Verknüpfung mit den reellen Zahlen kein a,b existieren, sodass sie -1 ergeben?

Das ist nicht so sehr das Problem. Hauptsächlich gibt es kein \(a\), das die \(-1\) nicht verändert.

Es ist \(m(-1, a) = \sqrt{(-1)^2 + a^2}\neq -1\) für alle \(a\in \mathbb{R}\).

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Ah ok, danke dir. Ich habe es verstanden ^^