Zeigen Sie: Ist I Ideal, so ist auch J Ideal

Question

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Aufgabe 22. Sei \( p \in \mathbb{N} \) eine Primzahl. Wir definieren \( \mathbb{Z}_{(p)}:=\left\{x \in \mathbb{Q} \mid x=\frac{a}{b}\right. \) mit \( a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z} \backslash\{0\} \) und \( b \) ist nicht durch \( p \) teilbar. \( \} \subset \mathbb{Q} \).
Zeigen Sie:
(a) \( \mathbb{Z}_{(p)} \) ist ein Unterring von \( \mathbb{Q} \).
(b) Ist \( I \unlhd \mathbb{Z}_{(p)} \) ein Ideal, so ist \( J:=I \cap \mathbb{Z} \unlhd \mathbb{Z} \) ein Ideal.

Aufgabe:

Siehe Bild

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider gar nicht wie die Aufgabe funktionieren soll.

Comments

Was ist denn ein Ideal? Was ein Unterring?

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Naja für ein Ideal haben wir folgende Bedingungen:

1) 0 ∈ I

2) Für a,b ∈ I, gilt a+b ∈ I

3) Für a ∈ I, r ∈ R gilt r*a ∈ I

Für Unterringe haben wir:

1) 1 ∈ S

2) Für a,b ∈ S gilt a+b und a*b ∈ S

3) Für a ∈ S gilt -a ∈ S

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Ok, ich würde zwar sagen dass die 1) für Unterringe nicht nötig ist, aber kommt auf euren Ringbegriff drauf an. Du solltest aber auf jeden Fall überprüfen dass mindestens ein Element in der Menge liegt, zB. Das Nullelement.

Dann fang jetzt doch mal an? Liegt 1=1/1 in der Menge?

Wenn du a/b und c/d aus der Menge nimmst, d.h. p teilt nicht b und nicht c, wie sehen dann die Summe und das Produkt aus?

Wenn a/b in der Menge liegt, liegt dann auch -a/b drin?

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Das hab ich mir so überlegt, aber ich war mir nicht sicher ob das wirklich reicht. Bei der b weiß ich aber leider gar nicht wo ich anfangen soll.

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Naja. Da musst du bei 1) zeigen dass 0 in J liegt. Hierfür musst du begründen warum 0 in I und in Z liegt.

Wenn a, b in J liegen soll a+b in J sein. a und b in J heißt a und b liegen in I, Warum liegt dann auch a+b in I? a und b liegen aber auch in Z, warum liegt auch a+b in Z. Liegt insgesamt dann a+b un I∩Z?

Wenn a in J liegt und r in Z, warum liegt dann r*a in I? Warum liegt r*a auch in Z?

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Zu 1)

Die 0 liegt ja nach Definition in den ganzen Zahlen und in I liegt sie da 0/b = 0

Bei 2 und 3 stehe ich gerade jedoch auf dem Schlauch

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a und b in J heißt a und b liegen in I, Warum liegt dann auch a+b in I?

I ist doch ein Ideal, dann ist es doch wie du oben gesagt hast abgeschlossen unter Addition? Also hier ist eigentlich nicht zu zeigen.

a und b liegen aber auch in Z, warum liegt auch a+b in Z?

Die ganze Zahlen bilden einen Ring, auch der ist additiv abgeschlossen. Also muss man hier auch nicht wirklich was zeigen.

Wenn die Summe in I und Z leigt, liegt sie auch im Schnitt, der heißt J. Also ist J abgeschlossen bezüglich Addition.

versuche 3) Jetzt noch einmal selbst.

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Wenn a in J liegt, müsste a ja auch in I und Z liegen, oder? Dann ist r*a in Z da sowohl r, als auch a in Z liegen und in I liegt es da laut Punkt 3 für Ideale r*a wieder in I liegt, oder habe ich da jetzt einen Denkfehler?

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Nein das ist richtig soweit, beachte aber dass 3) angewendet für I bedeutet, dass für

$$ r \in \mathbb Z_{(p)}, a \in I \implies ra\in I$$

Hier ist r aber \(\in\mathbb Z\), Warum kannst du trotzdem so argumentieren?

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Da r ∈ ℤ als a/b dargestellt werden kann und somit auch in ℤ_(p) liegt?

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Ja genau mit b=1 und a=r

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Alles klar, danke dir. Hast du vielleicht eine Idee bei meiner anderen Frage bezüglich des Kerns und der isomorphie?