Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Staffellaufzeit.

Question

Aufgabe:

X sei eine Zufallsvariable, die die Laufzeit (in Minuten) eines Ski-Läufers über 10km angibt. Die Laufzeit sei normalverteilt mit einem Erwartungswert von 21 Minuten und einer Standardabweichung von 0,5 Minuten.

a.) Geben Sie das zweifache zentrale Schwankungsintervall an.

b.) In der 4x10km-Staffel kommen 4 gleich starke, unabhängige Sportler zum Einsatz. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Staffellaufzeit.

Problem/Ansatz:

a.) ZSI=[21-2*0,5;21+2*0,5]

Stimmt mein Ergebnis?

b.) Bin mir hier unsicher, ob ich den Erwartungswert und die Varianz eines Sportlers für die 4x10km-Staffel berechnen soll oder den Erwartungswert und die Varianz der 4 Sportler für die 4x10km-Staffel.

Answer 1

Aloha :)

Wir haben eine Normalverteilung mit (Einheiten sind Minuten):$$\mu=21\quad;\quad\sigma=0,5$$

zu a) Das doppelte zentrale Schwankungsintervall ist:$$\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma\implies 20\le X\le22$$

zu b) Bei 4 gleichen unabhängigen Sportlern sind auch deren Verteilungsfunktionen für die Laufzeit unabhängig. Bei der Summation von Normalverteilungen addieren sich die Erwartungswerte und die Varianzen. Also gilt für die Laufzeit \(Y\) der Staffel:$$\mu_{\text{Staffel}}=4\cdot\mu=84\quad;\quad\sigma_{\text{Staffel}}=\sqrt{4\cdot\sigma^2}=2\sigma=1$$