Wahrscheinlichkeitsrechnung, Satz von Bayes

Question

!

Ich brauche Nachhilfe mit dieser Aufgabe.

Aufgabe:

Eine Nachrichtenquelle sendet Punkte und Striche im Verhältnis 3:4. Dabei wird mit Wahrscheinlichkeit 1/4 ein Punkt fälschlicherweise als Strich empfangen und mit Wahrscheinlichkeit 1/3 ein Strich als Punkt.
(a) Wenn ein Strich empfangen wird, mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde dann auch ein Strich versendet?
(b) Angenommen, die Signale sind unabhängig und es wurde “Strich- Strich” empfangen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der vier Nachrichten an, die versendet worden sein können.

vielmals!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Von 7 Signalen sind 3 Punkte und 4 Striche:$$\begin{array}{r|rr|r} & \text{Punkt ges} & \text{Strich ges.} & \text{Summe}\\\hline\\[-2ex]\text{Punke empf.} & & &\\[1ex]\text{Strich empf.} & & & \\[1ex]\hline\\[-2ex]\text{Summe} & \frac{3}{7} & \frac{4}{7} & 1\end{array}$$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{4}$ wird ein gesendeter Punkt als Strich empfangen.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}$ wird ein gesendeter Strich als Punkt empfangen.

$$\begin{array}{r|rr|r} & \text{Punkt ges} & \text{Strich ges.} & \text{Summe}\\\hline\\[-2ex]\text{Punke empf.} & & \frac{4}{7}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{21} &\\[1ex]\text{Strich empf.} & \frac{3}{7}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{28} & & \\[1ex]\hline\\[-2ex]\text{Summe} & \frac{3}{7} & \frac{4}{7} & 1\end{array}$$

Wir bringen alle Brüche auf den Hauptnenner $84$$$\begin{array}{r|rr|r} & \text{Punkt ges} & \text{Strich ges.} & \text{Summe}\\\hline\\[-2ex]\text{Punke empf.} & & \frac{16}{84} & \\[1ex]\text{Strich empf.} & \frac{9}{84} & & \\[1ex]\hline\\[-2ex]\text{Summe} & \frac{36}{84} & \frac{48}{84} & 1\end{array}$$

und füllen den Rest der 4-Felder-Tafel durch Summation auf:$$\begin{array}{r|rr|r} & \text{Punkt ges} & \text{Strich ges.} & \text{Summe}\\\hline\\[-2ex]\text{Punke empf.} & \frac{27}{84} & \frac{16}{84} & \frac{43}{84}\\[1ex]\text{Strich empf.} & \frac{9}{84} & \frac{32}{84} & \frac{41}{84}\\[1ex]\hline\\[-2ex]\text{Summe} & \frac{36}{84} & \frac{48}{84} & 1\end{array}$$

a) Wenn ein Strich empfangen wird, mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde dann auch ein Strich versendet?

$$p=\frac{p(\text{Strich empf. \(\land\) Strich ges.)}}{p(\text{Strich empf.)}}=\frac{\frac{32}{84}}{\frac{41}{84}}=\frac{32}{41}\approx78,0488\%$$

(b) Angenommen, die Signale sind unabhängig und es wurde “Strich- Strich” empfangen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der vier Nachrichten an, die versendet worden sein können.

$$p(\text{Punkt-Punkt})=\frac{\frac{9}{84}\cdot\frac{9}{84}}{\frac{41}{84}\cdot\frac{41}{84}}=\frac{9\cdot9}{41\cdot41}=\frac{81}{1681}\approx4,82\%$$$$p(\text{Strich-Punkt})=\frac{\frac{32}{84}\cdot\frac{9}{84}}{\frac{41}{84}\cdot\frac{41}{84}}=\frac{32\cdot9}{41\cdot41}=\frac{288}{1681}\approx17,13\%$$$$p(\text{Punkt-Strich})=\frac{\frac{9}{84}\cdot\frac{32}{84}}{\frac{41}{84}\cdot\frac{41}{84}}=\frac{9\cdot32}{41\cdot41}=\frac{288}{1681}\approx17,13\%$$$$p(\text{Strich-Strich})=\frac{\frac{32}{84}\cdot\frac{32}{84}}{\frac{41}{84}\cdot\frac{41}{84}}=\frac{32\cdot32}{41\cdot41}=\frac{1024}{1681}\approx60,92\%$$

Comments

Danke vielmals! Habs verstanden, danke für die Hilfe :)

Answer 2

Baumdiagramm:

a) 4/7*2/3/(4/7*2/3+3/7*1/4) = 78,05%