Elastizität einer Umkehrfunktion

Question

Text erkannt:

2. (Hier wird auch die Rechnung bewertet.) Es seien \( I, J \subset(0, \infty) \) Intervalle und \( f: I \rightarrow J \) bijektiv und differenzierbar mit ebenfalls differenzierbarer Umkehrfunktion \( f^{-1}: J \rightarrow I \). Verifizieren Sie die Identität
$$ \varepsilon_{f^{-1}}(x)=\frac{1}{\varepsilon_{f}\left(f^{-1}(x)\right)} $$
Welche Folgerung ergibt sich hieraus für \( f^{-1} \), wenn \( f \) auf \( I \)
(a) elastisch,
(b) ausgeglichen elastisch,
(c) unelastisch, aber nicht total unelastisch ist?

Ich muss gestehen, dass es bei mir schon an der Aufgabenstellung hapert.

Ich suche die Elastizität der Umkehrfunktion, richtig? Und die ist gerade definiert als 1/Elastizität der Umkehrfunktion...?

Ich weiß, was eine Elastizität ist und wie man sie aufstellt. Aber auf dem abstrakten Niveau weiß ich nicht, wie ich die  Fragen beantworten soll.

.

Liebe Grüße & bleibt gesund

Comments

Hallo,

wie ist denn

$$\epsilon_f(x)$$

definiert?

---

Hallo,

wir haben es so definiert:

ϵ_f(x) := x*f'(x)/f(x)

Answer 1

Hallo,
mit dieser Definition ist die Aufgabe eine direkte Anwendung der Regel über die Differentiation der Umkehrfunktion: Sei \(h(x):=f^{-1}(x)\), also \(f(x)=y \iff x=h(y)\). Dann gilt:

$$h ' (x)=\frac{1}{f'(h(x))}$$
Damit:
$$\epsilon_h(x)=\frac{x h'(x)}{h(x)}=\frac{x}{f'(h(x)) h(x)}=\frac{1}{\frac{f'(h(x))h(x)}{x}}$$
$$=\frac{1}{\frac{f'(h(x))h(x)}{f(h(x))}}=\frac{1}{\epsilon_f(h(x))}$$
Gruß Mathhilf

Comments

erstmal vielen Dank für deine Hilfe.!

Ich habe allerdings noch drei kleine Fragen:

1. Beim vorvorletzten zum vorletzten Schritt: Wieso ist x  = f(h(x)) ? Wieso nicht einfach nur h(x)?

2. Könntest du das Ergebnis mal verbalisieren? Was ist 1\e_f(h(x)) in Worten?

3. Bei den Teilaufgaben (a) bis (c) wird jetzt nach den Folgerungen gefragt. Hast du da noch einen Tipp für mich ?

Vielen Dank nochmal

Liebe Grüße

---

Hallo,

die Gleichung \(x=f(h(x))\) also \(x=f(f^{-1}(x))\) ist unmittelbar die Definition der Umkehrfunktion.

Die genauen Definitionen in 3. kenne ich nicht. Aber die Grundidee der Aufgabe ist, von der Elastizität einer Funktion f auf die Elastizität der Umkehrfunktion zu schließen. Wenn zum Beispiel \(\epsilon_f(x) <1\), dann ist die Elastizität der Umkehrfunktion >1.

Gruß Mathhilf