Elastizität einer Funktion bestimmen

Question

Wir betrachten die Funktion y:(0,∞)→[0,∞),x↦4x+2x⁻¹−3/2, welche den Ansturm auf Teppiche eines bestimmten Herstellers abhängig von den ausgepreisten Kosten x modelliert.

Die Elastizität ξx,y ist gleich −1 für x₁=  3/16  und gleich 1 für x₂= 8/3
Die Funktion y(x) ist elastisch für x<x₁, unelastisch für x₁<x<x₂ und elastisch für x>x₂

Mein Ansatz: f'(y) = 4 - 2x^-2

ξ_xy=  \( \frac{4-2/x^2}{4x+2/x-3/2} \)

Wenn ich da jetzt -1 oder 1 einsetze komme ich aber nicht auf die Lösung 3/16 bzw 8/3

Comments

x↦4x+2x⁻¹−3/2

Wahrscheinlich eher y ↦ 4x + 2x⁻¹ − 3/2

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Kann sein, in der Angabe steht es aber so

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Kann sein, dann wäre es aber ein Tippfehler.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Nachfragefunktion$$f(x)=4x+\frac2x-\frac32$$

Die Elastizität ist definiert als:$$\varepsilon(x)=\frac{\text{relative Änderung der Nachfrage}}{\text{relative Änderung des Preises}}=\frac{\frac{\Delta f(x)}{f(x)}}{\frac{\Delta x}{x}}=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\cdot\frac{x}{f(x)}$$Für kleine Preisanpassungen \(\Delta x\to0\) geht der Differenzenquotient in die Ableitung über:$$\varepsilon(x)=f'(x)\cdot\frac{x}{f(x)}=\left(4-\frac{2}{x^2}\right)\cdot\frac{x}{4x+\frac2x-\frac32}=\frac{4x^2-2}{x^2}\cdot\frac{x}{4x+\frac2x-\frac32}$$$$\phantom{\varepsilon(x)}=\frac{4x^2-2}{4x^2+2-\frac32x}=\frac{8x^2-4}{8x^2-3x+4}$$

Da kannst du die Werte \(x_1=\frac{3}{16}\) und \(x_2=\frac83\) einsetzen:

$$\varepsilon(3/16)=-1\quad;\quad\varepsilon(8/3)=1$$

Comments

Vielen Dank erstmal (:

3/16 und 8/3 sind die Lösung, ich habe sie bereits mitangegeben. Also ich brauche da einen Rechenweg, der genau andersrum ist. Wenn ich -1 und 1 einsetze, komme ich nicht auf die Werte x₁ und x_2.Wie muss ich da vorgehen?

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Ok, dann habe ich das falsch verstanden...

$$\varepsilon=\frac{8x^2-4}{8x^2-3x+4}\quad\bigg|\cdot(8x^2-3x+4)$$$$8x^2\,\varepsilon-3x\,\varepsilon+4\,\varepsilon=8x^2-4\quad\big|-8x^2+4$$$$8x^2\,\varepsilon-8x^2-3x\,\varepsilon+4\,\varepsilon+4=0\quad\big|\text{\(x\) ausklammern}$$$$(8\varepsilon-8)\cdot x^2-3\varepsilon\cdot x+(4\varepsilon+4)=0\quad\big|\div(8\varepsilon-8)$$$$x^2-\frac{3\varepsilon}{8\varepsilon-8}\cdot x+\frac{\varepsilon+1}{2\varepsilon-2}=0\quad\bigg|\text{pq-Formel}$$$$x_{1;2}=\frac{3\varepsilon}{16\varepsilon-16}\pm\sqrt{\left(\frac{3\varepsilon}{16\varepsilon-16}\right)^2-\frac{\varepsilon+1}{2\varepsilon-2}}$$

Damit erhalten wir:$$x\left(\varepsilon=\frac{3}{16}\right)=\frac{\pm\sqrt{31697}-9}{208}\quad;\quad x\left(\varepsilon=\frac{8}{3}\right)=\text{keine Lösung}$$

Für \(\varepsilon=\frac83\) ist der Radikand unter der Wurzel negativ, sodass es keine relle Lösung gibt. Für \(\varepsilon=\frac{3}{16}\) kommt nur eine positive Lösung in Betracht, da Preise nicht negativ sind. Wir wählen daher die positive Wurzel:$$x\left(\varepsilon=\frac{3}{16}\right)\approx0,81267554\ldots$$

Answer 2

Deine Formel für die Punktelastizität ist falsch. Du solltest noch mit dem Preis x multiplizieren.

Comments

\( \frac{(4-2/x^2)x}{4x+2/x-3/2} \) = \( \frac{4x-2/x}{4x+2/x-3/2} \) = jetzt könnte ich doch kürzen oder nicht

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Wie willst Du kürzen?

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Ich würde mit 2 und x zunächst erweitern, um unschöne Doppelbrüche zu vermeiden. Das ist allerdings nur Kosmetik und zur Berechnung nicht notwendig.

Answer 3

f(x) = 4·x + 2/x - 3/2

ε(x) = f'(x)/f(x)·x = (4 - 2/x^2)/(4·x + 2/x - 3/2)·x = (8·x^2 - 4)/(8·x^2 - 3·x + 4)

ε(3/16) = (8·(3/16)^2 - 4)/(8·(3/16)^2 - 3·(3/16) + 4) = -1

ε(8/3) = (8·(8/3)^2 - 4)/(8·(8/3)^2 - 3·(8/3) + 4) = 1