Punktweise und gleichmässige Konvergenz von (fn). fn(x):= 1/(nx).

Question

meine Aufgabe lautet:

Sei f_n: (0,∞) → ℝ definiert durch f_n(x) = 1/(nx). Man zeige:

a) (f_n) konvergiert punktweise gegen 0.

b) Für jedes a > 0 konvergiert f gleichmäßig auf [a,∞), das heißt, die Folge f_n|[a,∞)) ist gleichmäßig konvergent.

c) (f_n) ist nicht gleichmäßig konvergent.

 

Meine Idee:

a) Sei x fest. (1/nx) ist ein Vielfaches von (1/n). Die harmonische Reihe konvergert gegen 0, also konvergiert auch f_n(x) punktweise gegen 0, denn es gilt lim_(n=>∞) 1/(nx) = 0.

b) ???

c) Betrachte lim_(n=>oo) ||1/nx - 0|| = lim_(n=>oo) sup|1/nx|  
Dieses Supremum existiert nicht, also ist f_n nicht gleichmäßig konvergent.

 

Stimmt das so? Und falls ja, schreibt man das so auf?

Comments

 f_n(x) = 1/nx

steht x neben oder unter dem Bruchstrich? Du erwähnst die harmonische Reihe (?)

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nx steht im Nenner.

Ja, harmonische Reihe habe ich erwähnt, weil das ist ja quasi 1/x * 1/n.

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Also ich habe die a jetzt nochmal neu gemacht:

Sei ε>0. Wähle ein N∈ℕ, sodass N > 1/(εx)  <=> 1/(Nx) < ε.

|f_n(x) - f(x)| = |1/nx - 0| = 1/nx < 1/Nx <ε für alle n > N.

Stimmt das jetzt?

Und wie sieht es mit b und c aus?