Wenn es eine (nichttriviale) Zerlegung \(f(t)=u(t)\cdot v(t)\) mit \(u,v\in\mathbb Z[t]\) gibt, dann gibt es eine, sodass \(u\) normiert mit \(1\le\operatorname{grad}(u)\le2\) ist. Ganzzahlige Nullstellen von \(f\) kann es nicht geben, denn eine solche müsste ein Teiler von \(1\) sein. Wie man leicht nachrechnet ist aber \(f(1)=1\) und \(f(-1)=25\). Deswegen kann der Fall \(\operatorname{grad}(u)=1\) ausgeschlossen werden. Es bleibt also der Fall \(\operatorname{grad}(u)=2\).
Da \(u\) ein Teiler von \(f\) ist, ist auch insbesondere \(u(0)\) ein Teiler von \(f(0)=1\) und \(u(2)\) ein Teiler von \(f(2)=1\). Für \(u \) kommen also folgende vier Fälle infrage:
$$\begin{array}{clcl}(1)&u_1(0)=1&\textsf{\&}&u_1(2)=1\\(2)&u_2(0)=1&\textsf{\&}&u_2(2)=-1\\(3)&u_3(0)=-1&\textsf{\&}&u_3(2)=1\\(4)&u_4(0)=-1&\textsf{\&}&u_4(2)=-1\end{array}$$Bestimme nun für jeden dieser vier Fälle das (normierte quadratische) Interpolationspolynom mit einem der einschlägig bekannten Verfahren. Nach meinen Berechnungen lauten diese wie folgt:$$\begin{array}{rl}(1)&u_1(t)=t^2-2t+1\\(2)&u_2(t)=t^2-3t+1\\(3)&u_3(t)=t^2-t-1\\(4)&u_4(t)=t^2-2t-1\end{array}$$Polynomdivision \(f(t):u(t)\) zeigt, dass \(u_2\) tatsächlich ein Teiler von \(f\) ist und liefert auch gleich die gesuchte Zerlegung.
