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Ich soll die Determinante folgender Matrix bestimmen:


\( \begin{pmatrix} 1  1  1 ... 1 \\  1  2  2 ... 2 \\ 1  2  3 ... 3 \\ ................ \\ 1  2  3  4... n \end{pmatrix} \)

Intuitiv ist mir klar dass diese 1 betragen muss in dem sie auf eine untere dreicksform bringe, aber wie kann ich das formal beweisen?


Vielen Dank!

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Du könntest ja die erste Zeile von jeder nachfolgenden abziehen und dann das Ganze nach der ersten Spalte entwickeln.

Das gibt eine Schöne Rekursion.

Avatar von 487 k 🚀

Danke für den Tipp, könntest du mir evtl noch einen Denkanstoß geben, wie ich auf die Rekursionsformel komme?

Ich mache das mal an einem Zahlenbeispiel vor

[1 1 1 1 1]
[1 2 2 2 2]
[1 2 3 3 3]
[1 2 3 4 4]
[1 2 3 4 5]

Ziehe die erste Zeile von allen folgenden ab

[1 1 1 1 1]
[0 1 1 1 1]
[0 1 2 2 2]
[0 1 2 3 3]
[0 1 2 3 4]

Ziehe die zweite Zeile von allen folgenden ab

[1 1 1 1 1]
[0 1 1 1 1]
[0 0 1 1 1]
[0 0 1 2 2]
[0 0 1 2 3]

Ziehe die dritte Zeile von allen folgenden ab

[1 1 1 1 1]
[0 1 1 1 1]
[0 0 1 1 1]
[0 0 0 1 1]
[0 0 0 1 2]

Ziehe die vierte Zeile von der folgenden ab

[1 1 1 1 1]
[0 1 1 1 1]
[0 0 1 1 1]
[0 0 0 1 1]
[0 0 0 0 1]

Berechne jetzt recht einfach die Determinante.

Will heißen. Benutze vollständige Induktion. Zeige, dass es für n = 1 gilt.

Zeige dann unter der Voraussetzung, dass es für n  gilt, dass es auch für n + 1 gilt.

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