Determinante bestimmen Matrix

Question

Ich soll die Determinante folgender Matrix bestimmen:

\( \begin{pmatrix} 1  1  1 ... 1 \\  1  2  2 ... 2 \\ 1  2  3 ... 3 \\ ................ \\ 1  2  3  4... n \end{pmatrix} \)

Intuitiv ist mir klar dass diese 1 betragen muss in dem sie auf eine untere dreicksform bringe, aber wie kann ich das formal beweisen?

Vielen Dank!

Answer 1

Du könntest ja die erste Zeile von jeder nachfolgenden abziehen und dann das Ganze nach der ersten Spalte entwickeln.

Das gibt eine Schöne Rekursion.

Comments

Danke für den Tipp, könntest du mir evtl noch einen Denkanstoß geben, wie ich auf die Rekursionsformel komme?

---

Ich mache das mal an einem Zahlenbeispiel vor

[1 1 1 1 1]
[1 2 2 2 2]
[1 2 3 3 3]
[1 2 3 4 4]
[1 2 3 4 5]

Ziehe die erste Zeile von allen folgenden ab

[1 1 1 1 1]
[0 1 1 1 1]
[0 1 2 2 2]
[0 1 2 3 3]
[0 1 2 3 4]

Ziehe die zweite Zeile von allen folgenden ab

[1 1 1 1 1]
[0 1 1 1 1]
[0 0 1 1 1]
[0 0 1 2 2]
[0 0 1 2 3]

Ziehe die dritte Zeile von allen folgenden ab

[1 1 1 1 1]
[0 1 1 1 1]
[0 0 1 1 1]
[0 0 0 1 1]
[0 0 0 1 2]

Ziehe die vierte Zeile von der folgenden ab

[1 1 1 1 1]
[0 1 1 1 1]
[0 0 1 1 1]
[0 0 0 1 1]
[0 0 0 0 1]

Berechne jetzt recht einfach die Determinante.

---

Will heißen. Benutze vollständige Induktion. Zeige, dass es für n = 1 gilt.

Zeige dann unter der Voraussetzung, dass es für n  gilt, dass es auch für n + 1 gilt.