Aloha :)
Da \(f(x)\coloneqq\ln(x)\) in \(\mathbb R^+\) differenzierbar ist, gibt es nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung für jedes \(x>1\) ein \(\eta\in(1;x)\) an dem die momentane Steigung gleich der mittleren Steigung von \(f\) im Intervall \([1;x]\) ist:$$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(\eta)\implies\frac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}=\frac{1}{\eta}\implies\frac{\ln(x)}{x-1}=\frac{1}{\eta}\quad;\quad\eta\in(1;x)$$
Wegen des Existenzintervalls \(\eta\in(1;x)\) gilt:$$1<\eta<x\implies\frac{1}{1}>\frac{1}{\eta}>\frac{1}{x}\implies1>\frac{\ln(x)}{x-1}>\frac{1}{x}\implies x-1>\ln(x)>\frac{x-1}{x}$$Daher gilt für alle \(x>1\):$$1-\frac{1}{x}<\ln(x)<x-1$$
Auf den Spezialfall$$y=2\ln(3)-3\ln(2)=\ln(3^2)-\ln(2^3)=\ln(9)-\ln(8)=\ln\left(\frac{9}{8}\right)$$können wir mit \(x=\frac{9}{8}\) die gerade gezeigte Ungleichung anwenden:$$1-\frac{1}{\frac{9}{8}}<\ln\left(\frac98\right)<\frac98-1\implies1-\frac{8}{9}<y<\frac98-1\implies\frac19<y<\frac18$$
