Aloha :)
Wir folgen dem Tipp und bestimmen das Maximum von$$f(x)=x^n\cdot e^{-x}$$indem wir die Nullstellen der ersten Ableitung suchen:$$0\stackrel!=f'(x)=n\cdot x^{n-1}\cdot e^{-x}+x^n\cdot(-e^{-x})=x^{n-1}e^{-x}(n-x)\implies x=n\;\lor \cancel{x=0}$$Der Kandidat \(x=0\) scheidet aus, da nach Aufgabenstellung \(x\in(0;\infty)\) gelten soll. Wir prüfen den verbliebenen Kandidaten \(x=n\), ob er wirklich ein Extremum ist, indem wir ihn mit der zweiten Ableitung testen:$$f''(x)=(n-1)x^{n-2}e^{-x}(n-x)-x^{n-1}e^{-x}(n-x)-x^{n-1}e^{-x}\implies$$$$f''(n)=0-0-e^{-n}n^{n-1}=-\frac{n}{ne^n}<0\implies\text{Maximum}$$Daher gilt für alle \(x\in(0;\infty)\):$$0\le x^n\cdot e^{-x}\le f(n)=n^n\cdot e^{-n}$$
Bemerkung:
Für die 1. Ableitung habe ich die Produktregel verwendet: \((uv)'=u'v+uv'\)
Für die 2. Ableitung auch, aber in der Form: \((uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'\)
