Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihen!

Question

Aufgabe:

1) $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1n (z-1)^n$$

∞
∑     1/n (z-1)ⁿ
n=1

2) $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{2^n} x^n$$

∞
∑     (n+2) / 2ⁿ (xⁿ)
n=1

Problem/Ansatz:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihen!

Und danke im Voraus

Comments

Du hast ziemlich sicher in der Vorlesung 2 Formeln kennengelernt, mit denen man den Konvergenzradius bestimmen - eine mit Quotienten und eine mit n-ten Wurzeln. Versuche die doch mal, die mit den Quotienten zuerst.

Gruß Mathhilf

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Danke für die Hilfe. Bei das erste Beispiel bin ich bei nz-n / n+1 geblieben.

kannst du mir vielleicht sagen wie das weiter geht?

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Ich meine wie kann ich konvergenzradius in diesem Fall bestimmen?

Answer 1

Hallo,

wenn es um die Konvergenz einer Potenzreihe

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(z-q)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(z-1)^n$$

geht, kann man

1. diese als eine gewöhnliche Reihe mit Summanden $c_n:=a_n(z-q)^n$ ansehen und zum Beispiel das Quotientenkriterium verwenden. Hier also etwa:

$$|\frac{c_{n+1}}{c_n}|=|\frac{a_{n+1}}{a_n}| |z-q|=\frac{n}{n+1}|z-1| \to |z-1|$$

Jetzt sagt das QK: Konvergenz für $|z-1|<1$, Divergenz für $|z-1|>1$. Also ist der Konvergenzradius r=1.

2. die Theorie für Potenzreihen verwenden und dort die Formel (sofern der Grenzwert existiert.)

$$r=\lim |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim \frac{n+1}{n}=1$$

Du scheinst das 1. versucht zu haben. Es ist dringend zu raten, sich im Skript über den 2. Weg zu informieren.

Gruß Mathhilf