Differenzierbare Funktionen bestimmen

Question

meine Aufgabe:

Ich weiß, dass die Elastizität definiert ist als: f'(x)*x/f(x)

Dennoch bin ich etwas hilflos, wie ich die Aufgabe angehe. Ich weiß, dass ich irgendwie integrieren muss...

Für Anregungen wäre ich dankbar.

Liebe Grüße & bleibt gesund

Answer 1

Hallo,

man sucht also eine Funktion f mit

$$\frac{xf'(x)}{f(x)}=h(x)$$

Das ist eine Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen. Man löst sie durch (wenn f postiv sein soll:

$$\frac{xf'(x)}{f(x)}=h(x) \Rightarrow \frac{d}{dx} \ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{h(x)}{x}$$

Also

$$f(x)=\exp(H(x)) \text{  mit }H(x):=\int \frac{h(x)}{x}\; dx$$

Im ersten Beispiel: \(h(x)=-1\), \(H(x)=-\ln(x)\) und dann \(f(x)=x^{-1}\). Probe ist ok.

Gruß Mathhilf

Comments

Hallo,

vielen Dank für deine Antwort.

Allerdings habe ich noch ein Problem die Systematik zu begreifen.

Was machst du in dem Schritt: ⇒. Du leitest nach x ab, aber stellst du vorher um ?

Ich weiß noch nicht so recht, wie du auf ln(f(x)) kommst...

Und dann noch auf exp...

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Hallo,

mir ist nicht ganz klar, was der Sinn dieser Aufgabe ist bzw. was das für ein Kurs ist, in dem Du das machen sollst. Deshalb mal so eine mittel-ausführliche Antwort. Wie gesagt, es ist einfach ein Standard-Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen. Wenn Du mit diesem Stichwort (Trennung der Veränderlichen) suchst, findest Du unzählige Erklärungen und auch LernVideos.

Hier zu Deiner Frage: Man hat die Gleichung

$$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{h(x)}{x}$$

Daraus leitet man durch Berechnung der unbestimmten Integrale auf beiden Seiten eine neue Gleichung her. Dazu verwendet man, dass eine Stammfunktion für f'(x)/f(x) durch ln(f(x)) gegeben ist - was man durch Differentiation prüfen kann. Dadurch erhalte ich die Gleichung ln(f(x))=H(x). Diese löse ich auf, indem ich die Exponentialfunktion anwende ...

Gruß Mathhilf

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Bei der b) habe ich mich mal probiert:

H(x)= ∫\( \frac{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}{x} \)

Somit dann H(x) =  ∫\( \frac{x}{1+x^{2}} \)

Damit ist f(x) = \( exp^{ln(x^{2}+1)*0,5} \)

Was dann f(x) = \( \sqrt{x^{2}+1} \) entspricht.

Ist das korrekt?

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Hallo,

warum machst Du nicht einfach die Probe und berechnest die Elastizität?

Brauchst Du evtl die Info

$$\exp(0.5\ln(1+x^2))=\exp(\ln[(1+x^2)^{1/2}])=(1+x^2)^{1/2}$$

Damit geht dann die Probe auf.

Gruß Mathhilf

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Das ist sehr hilfreich, vielen vielen Dank!

Du kannst das wirklich sehr gut erklären! Mein Prof spult immer nur sein Programm ab und bei den Übungsaufgaben weiß man absolut nicht, wie man die lösen soll.