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Aufgabe:

Sei A ∈ Mm,n(K) und ϕ : λ → A · λ eine nicht injektive K-lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass ϕ = b, b ∈ Km, unendlich viele Lösungen besitzt.


Problem/Ansatz

Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen kann..

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Hallo :-)

Die Behauptung in deiner Aufgabe ist falsch. Betrachte folgendes Beispiel:

\(A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&0&0&0 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{2,4}\)

und die Abbildung \(\phi:\space \mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^2, \space \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix}\mapsto A\cdot \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\0 \end{pmatrix}\).

\(\phi\) ist nicht injektiv, denn zb für \(\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4\) ist

\(\phi \left(\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\phi \left(\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \right)\).

Außerdem gibt es für \(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2\) keine Lösung der Gleichung \(A\cdot v=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\).


Eine Möglichkeit wäre nun zu sagen, dass die Aussage oben wahr ist, falls \(A\) vollen Zeilenrang \(rg(A)=m\) hat und \(m<n\) gilt.

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