Hallo :-)
Die Behauptung in deiner Aufgabe ist falsch. Betrachte folgendes Beispiel:
\(A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&0&0&0 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{2,4}\)
und die Abbildung \(\phi:\space \mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^2, \space \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix}\mapsto A\cdot \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\0 \end{pmatrix}\).
\(\phi\) ist nicht injektiv, denn zb für \(\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4\) ist
\(\phi \left(\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\phi \left(\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \right)\).
Außerdem gibt es für \(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2\) keine Lösung der Gleichung \(A\cdot v=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\).
Eine Möglichkeit wäre nun zu sagen, dass die Aussage oben wahr ist, falls \(A\) vollen Zeilenrang \(rg(A)=m\) hat und \(m<n\) gilt.
