Sei B eine Darstellungsmatrix. Wenn B^2+B den Eigenwert -1 hat, dann hat B^3 den Eigenwert 1.

Question

Aufgabe:

folgendes Problem:

Wir haben eine lineare Abbildung g: W→W und W ist ein K-Vektorraum. B ist die Darstellungsmatrix von g.

Und jetzt will ich zeigen:

Wenn \( B^{2} \)+B den Eigenwert -1 hat, dann hat \( B^{3} \) den Eigenwert 1.

Komme da leider nicht weiter...

Answer 1

Wenn \(-1\) ein Eigenwert von \(B^2+B\) ist, dann existiert ein \(v\in W\) mit \(v\ne0\)
und \((B^2+B)v=-v\). Es folgt$$\qquad B^2v=-(B+I)v\\\Longrightarrow B^3v=-(B^2+B)v\\\Longrightarrow B^3v=-(-v)=1\cdot v.$$Damit ist \(1\) ein Eigenwert von \(B^3\).