Koordinatensystem zur Zeit t aufstellen ( Mond, Satellit, Erde Umlaufbahnen)

Question

Wir wollen unser Modell von Erde und Mond vom vergangenen Aufgabenzettel um einen Mondsatelliten erweitern. Wir nehmen wiederum an, dass die Erde eine im Ursprung liegende Kugel mit Radius 1 sei. Für die Erde wählen wir das kanonische Koordinatensystem des \( \mathbb{R}^{3} \). Der Mond befindet sich zu Beginn \( (t=0) \) an der Position \( P_{M, 0}=(16,0,0)^{\top} \) und rotiert in einer Kreisbewegung in 30 Tagen einmal um die zweite Erdkoordinatenachse. Nun wollen wir einen Satelliten um den Mond kreisen lassen. Dazu sei der Mond mit einem Mondkoordinatensystem, das mit dem Mond um die Erde kreist, ausgestattet. Zu Beginn ist das Mondkoordinatensystem \( \mathbb{M}_{0}=\left(P_{M, 0} ;(1,0,0)^{\top},(0,1,0)^{\top},(0,0,1)^{\top}\right) \).
Der Satellit rotiert in einem Tag \( (t=1) \) einmal um den Mond mit der ersten Mondkoordinatenachse als Rotationsachse. Seine Startposition in Mondkoordinaten ist \( { }_{M_{0}} S=(0,1,0)^{\top} \).

(a) Geben Sie eine Matrix (in Abhängigkeit von \( t \) ) an, die die Bewegung des Satelliten um den Mond beschreibt. Geben Sie das Mondkoordinatensystem \( \mathbb{M}_{t} \) zur Zeit \( t \) an.

Problem/Ansatz

f(Satellit)_t=

1	0	0
0	t	0
0	0	t

Ich weiß nicht wie das Mondkoordinatensystem zur Zeit t darstelle.

Idee:

M_t= ( \( \begin{pmatrix} 16t\\0\\t \end{pmatrix} \); e1,e2,e3)

Das einzige was sich mit der Zeit ändert ist ja nur die Position in der x-z-Ebene?

Das ist jetzt nur für den Mond betrachtet, aber mir wird grad klar, dass der Satellit um den Mond sich ja auch aus entlang der y- Achse bewegt.

Deswegen bin ich mir unsicher, ob das so stimmen kann

Comments

Ergänzung der Aufgabe

(b) Geben Sie die Koordinatentransformationen \( {M_{t}} \kappa_{\mathbb{E}} \) und \( \mathbb{E}^{\kappa}_{M_{t}} \) an.
(c) Geben Sie die Koordinaten des Erdmittelpunkts in Mondkoordinaten an. Geben Sie die Position des Satelliten nach 15 Tagen in Erdkoordinaten an.
(d) Bestimmen Sie die Menge \( \max S:=\{t \in \mathbb{R} \mid \) Abstand Satellit zur Erdoberfläche ist maximal \( \} \).

Answer 1

Ich hab die Scene in GGB umgesetzt, also

Der Der Mond rotiert um die Mond-y-Achse (vertikale grün) - er zeigt ja immer das gleiche Gesicht/Seite zur Erde - umlaufzeit 30 Tage : Rotationsmatrix R_M,ko(t_M) . Das Mond-KO wird damit gedreht

R_M,ko(t_M) M_o,t

Der Satellit läuft auf einer Kreisbahn um den Mond

\(S_{M,t}=P_{M,t} + R_{M,ko} \; \left(0, \operatorname{sin} \left( t_M \cdot 2 \; \pi + \frac{\pi }{2} \right), \operatorname{cos} \left( t_M \cdot 2 \; \pi + \frac{\pi }{2} \right) \right)\)

Entspricht das in etwa Deiner Aufgabenstellung?

Comments

Hallo,

Danke für die schöne Darstellung!

Ich war leider auf der ganz falschen Fährte..

Aber jetzt hab ichs :)

Danke