Aloha :)
$$y''(x)+2y'(x)+10y(x)=9e^{2x}\quad;\quad y(0)=\frac{1}{2}\quad;\quad y'(0)=7$$Hier haben wir es mit einer inhomogene DGL zu tun. Die Störung \(s(x)\coloneqq 9e^{2x}\) ist eine Exponentialfunktion. Dafür lassen sich oft spezielle Lösungen der inhomogenen DGL finden, indem man die Störung einfach mit einem konstanten Faktor \(\alpha\) multipliziert. Als spezielle Lösung wählen wir daher den Ansatz:$$y_s(x)\coloneqq\alpha\cdot s(x)=9\alpha e^{2x}\quad;\quad y'_s(x)=18\alpha e^{2x}\quad;\quad y''_s(x)=36\alpha e^{2x}$$und setzen entsprechend in die DGL ein:$$36\alpha e^{2x}+2\cdot18\alpha e^{2x}+10\cdot9\alpha e^{2x}=9e^{2x}\quad\implies\quad162\alpha e^{2x}=9e^{2x}\implies$$$$\alpha=\frac{9e^{2x}}{162e^{2x}}=\frac{9}{162}=\frac{1}{18}\quad\implies\quad y_s(x)=9\cdot\frac{1}{18}\,e^{2x}\quad\implies\quad \underline{\underline{y_s(x)=\frac{e^{2x}}{2}}}$$
Nun brauchen wir noch die Lösung der homogenen DGL$$y''_0(x)+2y'_0(x)+10y_0(x)=0$$Dazu wählen wir mit den Konstanten \(\beta\) und \(\lambda\) als Ansatz:$$y_0(x)=\beta e^{\lambda x}\quad;\quad y'_0(x)=\lambda\cdot\beta e^{\lambda x}\quad;\quad y''_0(x)=\lambda^2\cdot\beta e^{\lambda x}$$unt setzen wieder entsprechend in die DGL ein:$$\lambda^2\cdot\beta e^{\lambda x}+2\lambda\cdot\beta e^{\lambda x}+10\cdot\beta e^{\lambda x}=0\quad\implies\quad\lambda^2+2\lambda+10=0\quad\implies$$$$(\lambda+1)^2+9=0\quad\implies\quad\lambda_{1;2}=-1\pm\sqrt{-9}=-1\pm3i$$Wir haben also 2 Lösungen der homogenen DGL, die wir linear zur Gesamtlösung kombinieren können:$$\underline{\underline{y_0(x)=\beta_1\cdot e^{(-1+3i)x}+\beta_2\cdot e^{(-1-3i)x}}}$$
Da sich die Lösung einer inhomogenen DGL als Summe aus der homogenen Lösung und einer(!) speziellen Lösung schreiben lässt, haben wir als allgemeine Lösung:$$y(x)=y_0(x)+y_s(x)=\boxed{\beta_1\cdot e^{(-1+3i)x}+\beta_2\cdot e^{(-1-3i)x}+\frac{e^{2x}}{2}}\quad\text{Lösung Teil (a)}$$Die noch fehlenden Konstanten \(\beta_1\) und \(\beta_2\) bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen:$$\frac12\stackrel!=y(0)=\beta_1+\beta_2+\frac{1}{2}\quad\implies\quad \beta_1+\beta_2=0\quad\implies\quad\beta_2=-\beta_1$$$$7\stackrel!=y'(0)=\left[\beta_1(-1+3i)\cdot e^{(-1+3i)x}+\beta_2(-1-3i)\cdot e^{(-1-3i)x}+e^{2x}\right]_{x=0}$$$$\phantom{7}=\beta_1(-1+3i)+\beta_2(-1-3i)+1\;\stackrel{(\beta_2=-\beta_1)}{=}\;\beta_1(-1+3i)-\beta_1(-1-3i)+1$$$$\phantom{7}=-\beta_1+3i\beta_1+\beta_1+3i\beta_1+1=6i\beta_1+1\quad\implies\quad 6i\beta_1=6\quad\implies\quad\beta_1=-i$$
Damit haben wir die Lösung unter den besonderen Anfrangsbedingungen:$$y(x)=-i\cdot e^{(-1+3i)x}+i\cdot e^{(-1-3i)x}+\frac{e^{2x}}{2}$$$$\phantom{y(x)}=-i\cdot e^{-x}\cdot e^{3ix}+i\cdot e^{-x}\cdot e^{-3ix}+\frac{e^{2x}}{2}$$$$\phantom{y(x)}=e^{-x}\left(-i\cdot e^{3ix}+i\cdot e^{-3ix}+\frac{e^{3x}}{2}\right)$$$$\phantom{y(x)}=e^{-x}\left(-i(\cos3x+i\sin3x)+i(\cos3x-i\sin3x)+\frac{e^{3x}}{2}\right)$$$$\phantom{y(x)}=e^{-x}\left(-i\cos3x-i^2\sin3x+i\cos3x-i^2\sin3x+\frac{e^{3x}}{2}\right)$$$$\phantom{y(x)}=e^{-x}\left(2\sin3x+\frac{e^{3x}}{2}\right)=\boxed{\frac{e^{-x}}{2}\left(4\sin3x+e^{3x}\right)}\quad\text{Lösung Teil (b)}$$
