Lineare DGL .2. Ordnung lösen

Question

Aufgabe:

folgende lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung sowohl die allgemeine Lösung $y(x)$ als auch die partikuläre Lösung des Anfangswertproblems $y_{p}(x)$.
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+10 y=9 e^{2 x} \quad y(0)=\frac{1}{2}, y^{\prime}(0)=7$

Ansatz : 1)Bestimmung der allgemeinen Lösung, 2) Bestimmung der partikulären Lösung eines AWP.

Answer 1

Hallo,

Benutze die Tabelle unter

http://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.…

damit kannst Du Dir viel komplexe Rechnung ersparen.

Answer 2

Aloha :)

$$y''(x)+2y'(x)+10y(x)=9e^{2x}\quad;\quad y(0)=\frac{1}{2}\quad;\quad y'(0)=7$$Hier haben wir es mit einer inhomogene DGL zu tun. Die Störung $s(x)\coloneqq 9e^{2x}$ ist eine Exponentialfunktion. Dafür lassen sich oft spezielle Lösungen der inhomogenen DGL finden, indem man die Störung einfach mit einem konstanten Faktor $\alpha$ multipliziert. Als spezielle Lösung wählen wir daher den Ansatz:$$y_s(x)\coloneqq\alpha\cdot s(x)=9\alpha e^{2x}\quad;\quad y'_s(x)=18\alpha e^{2x}\quad;\quad y''_s(x)=36\alpha e^{2x}$$und setzen entsprechend in die DGL ein:$$36\alpha e^{2x}+2\cdot18\alpha e^{2x}+10\cdot9\alpha e^{2x}=9e^{2x}\quad\implies\quad162\alpha e^{2x}=9e^{2x}\implies$$$$\alpha=\frac{9e^{2x}}{162e^{2x}}=\frac{9}{162}=\frac{1}{18}\quad\implies\quad y_s(x)=9\cdot\frac{1}{18}\,e^{2x}\quad\implies\quad \underline{\underline{y_s(x)=\frac{e^{2x}}{2}}}$$

Nun brauchen wir noch die Lösung der homogenen DGL$$y''_0(x)+2y'_0(x)+10y_0(x)=0$$Dazu wählen wir mit den Konstanten $\beta$ und $\lambda$ als Ansatz:$$y_0(x)=\beta e^{\lambda x}\quad;\quad y'_0(x)=\lambda\cdot\beta e^{\lambda x}\quad;\quad y''_0(x)=\lambda^2\cdot\beta e^{\lambda x}$$unt setzen wieder entsprechend in die DGL ein:$$\lambda^2\cdot\beta e^{\lambda x}+2\lambda\cdot\beta e^{\lambda x}+10\cdot\beta e^{\lambda x}=0\quad\implies\quad\lambda^2+2\lambda+10=0\quad\implies$$$$(\lambda+1)^2+9=0\quad\implies\quad\lambda_{1;2}=-1\pm\sqrt{-9}=-1\pm3i$$Wir haben also 2 Lösungen der homogenen DGL, die wir linear zur Gesamtlösung kombinieren können:$$\underline{\underline{y_0(x)=\beta_1\cdot e^{(-1+3i)x}+\beta_2\cdot e^{(-1-3i)x}}}$$

Da sich die Lösung einer inhomogenen DGL als Summe aus der homogenen Lösung und einer(!) speziellen Lösung schreiben lässt, haben wir als allgemeine Lösung:$$y(x)=y_0(x)+y_s(x)=\boxed{\beta_1\cdot e^{(-1+3i)x}+\beta_2\cdot e^{(-1-3i)x}+\frac{e^{2x}}{2}}\quad\text{Lösung Teil (a)}$$Die noch fehlenden Konstanten $\beta_1$ und $\beta_2$ bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen:$$\frac12\stackrel!=y(0)=\beta_1+\beta_2+\frac{1}{2}\quad\implies\quad \beta_1+\beta_2=0\quad\implies\quad\beta_2=-\beta_1$$$$7\stackrel!=y'(0)=\left[\beta_1(-1+3i)\cdot e^{(-1+3i)x}+\beta_2(-1-3i)\cdot e^{(-1-3i)x}+e^{2x}\right]_{x=0}$$$$\phantom{7}=\beta_1(-1+3i)+\beta_2(-1-3i)+1\;\stackrel{(\beta_2=-\beta_1)}{=}\;\beta_1(-1+3i)-\beta_1(-1-3i)+1$$$$\phantom{7}=-\beta_1+3i\beta_1+\beta_1+3i\beta_1+1=6i\beta_1+1\quad\implies\quad 6i\beta_1=6\quad\implies\quad\beta_1=-i$$

Damit haben wir die Lösung unter den besonderen Anfrangsbedingungen:$$y(x)=-i\cdot e^{(-1+3i)x}+i\cdot e^{(-1-3i)x}+\frac{e^{2x}}{2}$$$$\phantom{y(x)}=-i\cdot e^{-x}\cdot e^{3ix}+i\cdot e^{-x}\cdot e^{-3ix}+\frac{e^{2x}}{2}$$$$\phantom{y(x)}=e^{-x}\left(-i\cdot e^{3ix}+i\cdot e^{-3ix}+\frac{e^{3x}}{2}\right)$$$$\phantom{y(x)}=e^{-x}\left(-i(\cos3x+i\sin3x)+i(\cos3x-i\sin3x)+\frac{e^{3x}}{2}\right)$$$$\phantom{y(x)}=e^{-x}\left(-i\cos3x-i^2\sin3x+i\cos3x-i^2\sin3x+\frac{e^{3x}}{2}\right)$$$$\phantom{y(x)}=e^{-x}\left(2\sin3x+\frac{e^{3x}}{2}\right)=\boxed{\frac{e^{-x}}{2}\left(4\sin3x+e^{3x}\right)}\quad\text{Lösung Teil (b)}$$

Comments

Danke immer !

bei mir 3 mal versucht aber falsch.

Hier bei dir auch die Lösung anders.

Die Antworten müssen so sein.

y(x) = e^−x(C1 sin(3x) +C2 cos(3x)) +1/2e^2x

yp(x) = 2 sin(3x)·e ^−x+1/2e²