Längen der Strecken in Abhängigkeit von Seite a?

Question

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3. Bestimmen Sie die Längen der Strecken $A B, A C$ und $A D$ in Abhängigkeit von der Seite $a=\overline{C D}$ des Quadrates $E F C D$, wenn $\overline{A D}=\overline{B C}$ und $\overline{A C} \perp \overline{B C}$.

Aufgabe:

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Vom Duplikat:

Titel: bestimmen der längen in abhängigkeit einer seite

Stichworte: seitenlängen,untersuchen,winkel,strecke

Text erkannt:

3. Bestimmen Sie die Längen der Strecken $\overline{A B}, \overline{A C}$ und $\overline{A D}$ in Abhängigkeit von der Seite $a=\overline{C D}$ des Quadrates $E F C D$, wenn $\overline{A D}=\overline{B C}$ und $\overline{A C} \perp \overline{B C}$.

Aufgabe:

Answer 1

Nach dem Höhensatz gilt für das rechtwinklige Dreieck

(FC)²=(AF)*(FB).

Nenne (AE)=(FB)=x und (EF)=(FC)=a.

Dann wird daraus

a²=(x+a)*x.

Berechne daraus x.

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Und in wie fern hilft mir dies jetzt bei der längenberechnung von den Strecken?

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Kannst du quadratische Gleichungen lösen?

Answer 2

Hallo Clara,

drei Antworten und dreimal der Höhensatz, wo doch der alte Pythagoras völlig ausreicht. Dann braucht man auch keine quadratische Gleichung zu lösen ;-)

$$\triangle MFC: \quad |MC| = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac a2\sqrt 5$$und da $|MC|=|MA|$ ist, und $|AB|=2|MA|$$$|AB| = 2|MC| = a\sqrt 5 \\ |AF| = |MC| + \frac a2 = \frac a2\sqrt 5 + \frac a2 = \frac a2(1+\sqrt 5) \\ \triangle AFC: \quad |AC| = \sqrt{ |AF|^2 + a^2 } \\ \phantom{\triangle AFC: \quad |AC| } = a\sqrt{\frac{5+\sqrt 5}2}$$und $|AD|$ schaffst Du allein; z.B. mittels Pythagoras aus $\triangle AED$.

Gruß Werner

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Wie genau rechne ich jetzt exakt ab aus

Da die Diagonalen senkrecht auf den Schenkeln des Trapezes stehen, liegen alle Eckpunkte auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt $M$ auch Mittelpunkt der Seite AB ist. Folglich ist der Radius des Kreises $|AM|=|MC|$. Und $|MC|$ lässt sich nach Pythagoras berechnen$$|MC|^2=a^2+\left(\frac a2\right)^2$$(s.o.) und $|AB|$ ist dann eben doppelt so lang.

Answer 3

Skizze

Es gilt der Höhensatz des Euklid

q * p = a²

q wird ersetzt durch a + p
( a+ p ) * p = a²
p = 0.618

Bitte nachrechnen.

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Und wie genau komm ich dann auf die Längen der Strecke? Zum Beispiel von AB

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$p=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1) a$

p ≈ 0.618a

AB=p+a+p≈0,618a+1a+0,618a=...

AC²=(a+p)²+a²

AD²=p²+a²

:-)

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Wie genau rechne ich jetzt exakt ab aus?

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Hallo,
es muß heißen anstelle
( a+ p ) * p = a²
p = 0.618

sondern
( a+ p ) * p = a²
p = 0.618 * a

Bestimmen sie die Länge der Strecke ab
in Abhängigkeit von a
ab = p + a + p
ab = 2 * p + a
ab = 2 * ( 0.618 * a ) + a
ab = 2.236 * a

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Wie genau rechne ich jetzt exakt ab aus?

Hallo Clara,

was verstehst du denn nicht?

In meinem Kommentar steht doch

AB=p+a+p≈0,618a+1a+0,618a=...

und sowohl der Coach als auch andere haben doch schon einige Tipps gegeben bzw. vorgerechnet.

:-)

Answer 4

Du hast dir je selber nicht mal Gedanken gemacht. Du kennst sicher die Satzgruppe des Pythagoras.

Mache dir einen Merkszettel zur Satzgruppe des Pythagoras und schreibe dann mögliche Zusammenhänge für deine gegebene Fläche auf.

Ich bin sicher dann kannst du fast alle Aufgaben alleine Lösen.

Hier zunächst nur die Kontroll-Lösungen

AB = √5·a
AC = √(2·√5 + 10)/2·a
AD = √(10 - 2·√5)/2·a

Answer 5

Die Dreiecke $AED$, $AFC$, $FBC$ und $ABC$ sind rechtwinklig.

Der Satz de Pythagoras liefert dir also vier Gleichungen.

Das Quadrat $EFCD$ liefert die drei weitere Gleichungen, nämlich

        $\begin{aligned}\overline{CD}&=\overline{DE}\\\overline{CD}&=\overline{EF}\\\overline{CD}&=\overline{CF}\\\end{aligned}$

Außerdem gilt noch

      $\begin{aligned}\overline{AF}&=\overline{AE}+\overline{EF}\\\overline{AB}&=\overline{AF}+\overline{BF}\end{aligned}$

Im Aufgabentext findest du noch die Gleichungen

        $\begin{aligned}a&=\overline{DE}\\\overline{AD}&=\overline{BC}\end{aligned}$

Löse das Gleichungssystem.

Answer 6

Höhensatz
(a + x)·x = a² → x = a·(√5/2 - 1/2)

AB = a + 2·x = a + 2·a·(√5/2 - 1/2) = √5·a

AC = √((a + x)² + a²) = √((a + a·(√5/2 - 1/2))² + a²) = √(2·√5 + 10)/2·a

AD = √(x² + a²) = √((a·(√5/2 - 1/2))² + a²) = √(10 - 2·√5)/2·a