Partielle Ableitungen; Summenzeichen

Question

meine Aufgabe:

Meine Schwierigkeit liegt bei der Aufgabe (a) bzw. bei den Indizes, bzw. generell der Herangehensweise.

Kann mir jemand einen Denkanstoß geben, wie ich auf die ersten partiellen Ableitungen kommen? (a)

Und worauf ich dann bei den zweiten partiellen Ableitungen achten muss bzw. was sich verändert?

Vielen Dank & bleibt gesund

Liebe Grüße

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{\partial f_\alpha}{\partial x_i}=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2}=\underbrace{\frac \alpha2\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}}_{=\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)}_{=\text{innere Ableitung}}=\frac \alpha2\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}\!\!\!\cdot2x_i$$$$\frac{\partial f_\alpha}{\partial x_i}=\alpha x_i\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}$$

Bei den zweiten partiellen Ableitungen kannst du wieder ähnlich vorgehen, musst aber zuvor die Produktregel anwenden:

$$\frac{\partial^2f_\alpha}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\alpha x_j\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}\right)$$$$\phantom{\frac{\partial^2f_\alpha}{\partial x_i\partial x_j}}=\underbrace{\frac{\partial}{\partial x_i}{\left(\alpha x_j\right)}}_{=u'}\cdot\underbrace{\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}}_{=v}\!\!\!\!+\underbrace{\alpha x_j}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}}_{=v'}$$$$\phantom{\frac{\partial^2f_\alpha}{\partial x_i\partial x_j}}=\alpha\,\delta_{ij}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}\!\!\!\!+\alpha x_j\cdot\underbrace{\left(\frac \alpha2-1\right)\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-2}}_{=\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)}_{=\text{innere Ableitung}}$$$$\phantom{\frac{\partial^2f_\alpha}{\partial x_i\partial x_j}}=\alpha\,\delta_{ij}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}\!\!\!\!+\alpha x_j\cdot\left(\frac \alpha2-1\right)\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-2}\cdot2x_i$$$$\phantom{\frac{\partial^2f_\alpha}{\partial x_i\partial x_j}}=\alpha\,\delta_{ij}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha 2-1}\!\!\!\!+\alpha(\alpha-2)\,x_ix_j\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-2}$$

Das "Kronecker-Delta" \(\delta_{ij}\) ist gleich \(1\), wenn \(i=j\) ist, sonst ist es gleich \(0\).

Comments

Sorry, hatte in meiner ersten Antwort nur die erste Ableitung drin. Habe die zweite Ableitung noch ergänzt ;)

---

Vielen Dank für deine ausführliche und sehr hilfreiche Lösung.

Eine Frage noch: Woher kommt der Parameter δ_ij und was hat er für eine Bedeutung?

---

Das ist das sog. "Kronecker-Delta":$$\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{cl}1&\text{falls \(i=j\)}\\0&\text{sonst}\end{array}\right.$$

---

Vielen Dank.

Leider hat sich bei mir noch eine Frage ergeben:

Wieso kannst du im ersten Schritt schreiben

\( \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\right)^{\frac{n}{2}} \) ?

Müsste es nicht:

\( \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\right)^{\frac{α}{2}} \) ?

sein?

So steht es zumindest in der Aufgabenstellung. Oder stehe ich schon wieder total auf dem Schlauch ?

---

Ach, ich habe im Exponenten ein \(n\) statt ein \(\alpha\) gelesen... Bin halt schon alt und sehe nicht mehr so gut ;) Es muss natürlich \(\alpha\) heißen. Ich korrigiere das noch.

---

Sehr alt, aber auch sehr weise. ;)

Danke dir.