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meine Aufgabe:

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Meine Schwierigkeit liegt bei der Aufgabe (a) bzw. bei den Indizes, bzw. generell der Herangehensweise.

Kann mir jemand einen Denkanstoß geben, wie ich auf die ersten partiellen Ableitungen kommen? (a)

Und worauf ich dann bei den zweiten partiellen Ableitungen achten muss bzw. was sich verändert?

Vielen Dank & bleibt gesund

Liebe Grüße

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Aloha :)

fαxi=xi(k=1nxk2)α2=α2(k=1nxk2)α21=a¨ußere Ableitung(xik=1nxk2)=innere Ableitung=α2(k=1nxk2)α21 ⁣ ⁣ ⁣2xi\frac{\partial f_\alpha}{\partial x_i}=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2}=\underbrace{\frac \alpha2\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}}_{=\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)}_{=\text{innere Ableitung}}=\frac \alpha2\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}\!\!\!\cdot2x_ifαxi=αxi(k=1nxk2)α21\frac{\partial f_\alpha}{\partial x_i}=\alpha x_i\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}

Bei den zweiten partiellen Ableitungen kannst du wieder ähnlich vorgehen, musst aber zuvor die Produktregel anwenden:

2fαxixj=xi(αxj(k=1nxk2)α21)\frac{\partial^2f_\alpha}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\alpha x_j\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}\right)2fαxixj=xi(αxj)=u(k=1nxk2)α21=v ⁣ ⁣ ⁣ ⁣+αxj=uxi(k=1nxk2)α21=v\phantom{\frac{\partial^2f_\alpha}{\partial x_i\partial x_j}}=\underbrace{\frac{\partial}{\partial x_i}{\left(\alpha x_j\right)}}_{=u'}\cdot\underbrace{\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}}_{=v}\!\!\!\!+\underbrace{\alpha x_j}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}}_{=v'}2fαxixj=αδij(k=1nxk2)α21 ⁣ ⁣ ⁣ ⁣+αxj(α21)(k=1nxk2)α22=a¨ußere Ableitung(xik=1nxk2)=innere Ableitung\phantom{\frac{\partial^2f_\alpha}{\partial x_i\partial x_j}}=\alpha\,\delta_{ij}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}\!\!\!\!+\alpha x_j\cdot\underbrace{\left(\frac \alpha2-1\right)\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-2}}_{=\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)}_{=\text{innere Ableitung}}2fαxixj=αδij(k=1nxk2)α21 ⁣ ⁣ ⁣ ⁣+αxj(α21)(k=1nxk2)α222xi\phantom{\frac{\partial^2f_\alpha}{\partial x_i\partial x_j}}=\alpha\,\delta_{ij}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-1}\!\!\!\!+\alpha x_j\cdot\left(\frac \alpha2-1\right)\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-2}\cdot2x_i2fαxixj=αδij(k=1nxk2)α21 ⁣ ⁣ ⁣ ⁣+α(α2)xixj(k=1nxk2)α22\phantom{\frac{\partial^2f_\alpha}{\partial x_i\partial x_j}}=\alpha\,\delta_{ij}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha 2-1}\!\!\!\!+\alpha(\alpha-2)\,x_ix_j\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)^{\frac \alpha2-2}

Das "Kronecker-Delta" δij\delta_{ij} ist gleich 11, wenn i=ji=j ist, sonst ist es gleich 00.

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Sorry, hatte in meiner ersten Antwort nur die erste Ableitung drin. Habe die zweite Ableitung noch ergänzt ;)

Vielen Dank für deine ausführliche und sehr hilfreiche Lösung.

Eine Frage noch: Woher kommt der Parameter δij und was hat er für eine Bedeutung?

Das ist das sog. "Kronecker-Delta":δij={1falls i=j0sonst\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{cl}1&\text{falls \(i=j\)}\\0&\text{sonst}\end{array}\right.

Vielen Dank.

Leider hat sich bei mir noch eine Frage ergeben:

Wieso kannst du im ersten Schritt schreiben

xi(k=1nxk2)n2 \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\right)^{\frac{n}{2}} ?

Müsste es nicht:

xi(k=1nxk2)α2 \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\right)^{\frac{α}{2}} ?

sein?

So steht es zumindest in der Aufgabenstellung. Oder stehe ich schon wieder total auf dem Schlauch ?

Ach, ich habe im Exponenten ein nn statt ein α\alpha gelesen... Bin halt schon alt und sehe nicht mehr so gut ;) Es muss natürlich α\alpha heißen. Ich korrigiere das noch.

Sehr alt, aber auch sehr weise. ;)

Danke dir.

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