Hallo,
seien a,b linear unabhängig, z.B. die ersten beiden Vektoren der
Standardbasis von V. Man kann bereits für k=2 ein Gegenbeispiel zur
Behauptung finden. $$a\otimes b-b\otimes a$$ ist ein alternierender Tensor.
Für diesen gilt $$t:=(a\otimes b-b\otimes a)\otimes(a\otimes b-b\otimes a)=\\a\otimes b\otimes a\otimes b-a\otimes b\otimes b\otimes a- b\otimes a\otimes a\otimes b+b\otimes a\otimes b\otimes a$$
Wenn man auf dieses t die Transposition σ=(2 3) "loslässt", d.h. wenn man
jeweils den 2-ten und 3-ten Faktor miteinander vertauscht, sollte
t in sign(σ)t = -t übergehen, was aber offenbar nicht der Fall ist.
Daher ist die Behauptung falsch.
Gruß ermanus
