Reihe Grenzwert berechnen, konvergiert die Reihe?

Question

Aufgabe:

Konvergiert die Reihe? Berechnen Sie, falls möglich, ihre Summe.

a) $\sum\limits_{k=0}^{\infty}{5^-k * ( 2^k + (-7)^k)}$ 

(es soll 5^-k * (2^k + (-7)^k) sein).

b) $\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{4^k+(-2)^k}{9^k}}$

Ich habe mir dazu die Regeln angeguckt.. man soll nach die geometrische Reihe ausrechnen. aber es macht kein richtiges sinn, weil wir nicht so richtiges q haben.. wie soll man die rechnen? Wie kommt man drauf? Oder soll man doch nicht nach geometrische Reihe berechnen?  (Ich lerne für die Prüfung).

Danke voraus. :)

Answer 1

Teilsummen bilden:

(2/5)^k + (-7/5)^k

(-7/5)^k divergiert, da |-7/5| > 1   -> Summe divergiert

b) (4/9)^k + (-2/9)^k -> 1/(1-4/9) + 1/(1+2/9)^k = 9/5 + 9/11 = 144/55

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Comments

Wie kamst du drauf, dass man bei dem eine Teilsumme erstellen musste??

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Weil sich das anbietet. Man muss nur die Klammer auflösen.

Answer 2

Hallo

wenn ich das richtig interpretiere stehen da als Summanden;  (2/5)^k +(-7/5)^k

das erste gibt eine geometrisch und damit konvergierende Reihe, das zweite sieht nach alternierender Reihe aus, da die Summanden keine Nullfolge bilden aber divergent, also insgesamt divergent

das zweite auch umgeschrieben  die Summanden (4/9)^k+(-2/9)^k also die summe von 2 geometrischen Reihen, deren Summenformeln du sicher kennst.

(Wenn verlangt wird die summe zu bestimmen such immer nach geometrischen Reihen!)

Gruß lul