Hallo,
\( \frac{1}{x^2+y^2} \) = x^-2 + y^-2
Bilde den Kehrwert, dann siehst Du direkt, dass das nicht dasselbe ist$$\begin{aligned} \frac{1}{x^2+y^2} \space&\stackrel?\leftrightarrow\space \frac 1{x^2} + \frac1{y^2} \\ x^2 + y^2 \space &\stackrel?\leftrightarrow\space \frac{1}{\frac 1{x^2} + \frac1{y^2}}\\ x^2 + y^2 \space &\stackrel?\leftrightarrow\space \frac{x^2 \cdot y^2}{y^2 + x^2} &&|\,\cdot (x^2+y^2)\\ (x^2+y^2)^2\space&\stackrel?\leftrightarrow\space x^2y^2 &&|\, \sqrt{} \\ x^2 + y^2 \space&\stackrel?\leftrightarrow\space xy \end{aligned}$$das ist nicht dasselbe - warum auch! Mal angenommen \(x^2=y^2=2^2=4\):$$\frac 1{4+4} = \frac 18 \space\stackrel?\leftrightarrow\space \frac 14 + \frac 14 = \frac 12$$
Leider sagt der Integralrechner was anderes.
Wenn Du z.B.: das Integral über einem Viertel eines Kreisrings mit Radius \(r=1\) bis \(r=2\) berechnest; mit der Funktion \(f(x,y) = 1/(x^2+y^2)\), dann kannst Du natürlich schreiben$$\dots = \int\limits_{x=0}^1\space \int\limits_{y=\sqrt{1^2-x^2}}^{\sqrt{2^2-x^2}} f(x,y)\,\text dy \,\text dx + \int\limits_{x=1}^2 \space \int\limits_{y=0}^{\sqrt{2^2-x^2}} f(x,y)\,\text dy\,\text dx$$da sollte auch das richtige raus kommen. Viel Spaß beim Ausrechnen ;-)
Tipp: das innere Integral ist$$\int \frac 1{x^2+y^2}\, \text dy = \frac{\arctan\left(\frac yx\right)}{x} + C$$Gruß Werner
