Wie löse ich diese DGL nachdem ich die polinomdivision durchgeführt habe?

Question

Aufgabe:

yˋˋˋ-yˋˋ+4yˋ-4y=4x

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese DGL nachdem ich die polinomdivision durchgeführt habe? Mit welchem Ansatz ?

Answer 1

Hallo,

y'''-y''+4y'-4y=4x

λ^3 -λ^2 +4λ -4=0

(λ-1)(λ^2+4)=0

λ_1,2= ± 2i

λ₃=1

-------->

\( yh(x)=C_{1} \cos (2 x)+C_{2} \sin (2 x)+C_{3} e^{x} \)

y_p= A+Bx

yp'= B

yp'' =0

yp''' =0

yp, yp' ,yp'' , y''' in die DGL einsetzen:

4B-4(A+Bx)=4x

4B-4A -4Bx=4x

Koeffizientenvergleich durchführen:

x^1 : -4B=4 ->B=-1

x^0: 4B-4A= 0->A=-1

-> yp=-1-x

y=yh+yp

Lösung:

\( y(x)=c_{3} e^{x}+c_{2} \sin (2 x)+c_{1} \cos (2 x)-x-1 \)