LR Zerlegungn (Gauss-Elimination mit Spaltenpivotwahl) L einfach berechnen?

Question

Wie kann man L für diese Matrix

\( A=\left(\begin{array}{rrr}2 & -4 & 3 \\ 8 & -12 & 4 \\ 4 & -2 & 10\end{array}\right) \)

berechnen? Gibt es eine einfache Methode?

Vielen Dank!

Answer 1

einfach aber aufwändig

mit elementarmatrizen zeigt das beispiel

https://www.geogebra.org/m/c94bmjuy

A:= {{2,-4,3},{8,-12,4},{4,-2,10}}

welche art pivotsuche soll denn durchgeführt werden?

\( A=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right) \)

\( L_{1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ \frac{-a_{21}}{a_{11}} & 1 & 0 \\ \frac{-a_{31}}{a_{11}} & 0 & 1\end{array}\right) \)

\( L_{1} \cdot A=\left(\begin{array}{rrl}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & c_{22} & c_{23} \\ 0 & c_{32} & c_{33}\end{array}\right) \)

\( L R=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \frac{a_{21}}{a_{11}} & c_{22} & c_{23} \\ \frac{a_{31}}{a_{11}} & c_{32} & c_{33}\end{array}\right) \)

usw. auf der Matzrix (cij)_n-1

ohne Pivotsuche erhält man
\(LR\small \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}2&-4&3\\4&4&-8\\2&\frac{3}{2}&16\\\end{array}\right)\)

Comments

Vielen Dank für die Antwort!
es muss mit Spaltenpivotwahl durchgeführt werden

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OK, dann tauschen wir die Zeile mit dem Pivot 8 nach oben, tausche 1-2 und im zweiten Schritt tausche 2-3, die Zeile mit dem Pivot 4 nach zeile 2 und erhalten dann

\(LR \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}8&-12&4\\\frac{1}{2}&4&8\\\frac{1}{4}&\frac{-1}{4}&4\\\end{array}\right)\)

also

L R = P A

\( \small \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{1}{2}&1&0\\\frac{1}{4}&\frac{-1}{4}&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}8&-12&4\\0&4&8\\0&0&4\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{array}\right)  \left(\begin{array}{rrr}2&-4&3\\8&-12&4\\4&-2&10\\\end{array}\right)  \)

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Könnten Sie bitte ausführlicher erklären, wie man auf L kommt?
ich habe L₁ L₂ Probelemlos gerechnent, es ist aber mir nicht klar wie ich aus den beiden matrizen auf L komme.
Ich habe noch diesen Forme gefunden, was ich aber kompliziert finde:

L₂ (P₂ L₁ P₂^-1)P₂ P₁ . A = R

L^-1 = L₂ (P₂ L₁ P₂^-1)

L bildet sich dann aus L^-1

kann ich diese Formel bei jeder LR Zerlegung einer 3x3 Matrix? oder gibt es eine einfache methode um L zu berechnen?

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pivot tausch ausführen für A

1. dividiere 1. spalte von A durch das diagonal element (das ist die ersten spalte von L) und drehe das vorzeichen der elemente unter der diagonalen,

2. setze die spalte in eine einheitsmatrix ein , das ergibt L1. multipliziere mit A1= L1 A (das macht nullen unter der diagonale der 1 spalte - siehe oben)

pivot tausch für A1

goto 1 und verfahre so mit der 2 spalte:

nim die 2.spalte ab diagonale element, dividiere durch diagonal element (2. spalte von L)

vorzeichen unter diagonale drehen und in einheitsmatrix einsetzen ergibt L2. R = L2 A1

schau in den link und kopiere deine matrix nach zeile 6 (in der App werden die L-Spalten in die durch 0en freiwerdenden spalten in der Matrix A reingesteckt. - ich finde das einfacher als alle Matrizen einzelnen aufzuschreiben und dann zusamen zu ziehen. btw. die P matrizen sind sebstinvers (muß man kein ^-1 dranschreiben), dein weg ist auch korrekt...

Answer 2

Hallo,

Gibt es eine einfache Methode?

'einfach' ist relativ ;-) einfacher ist es zunächst mal ohne Pivotwahl. Schreibe dazu links von Matrix \(A\) die Einheitsmatrix und fasse beide zu einer Tabelle zusammen. Links steht dann die zukünftige Matrix \(L\) und rechts die zukünftige Matrix \(R\)$$\begin{array}{ccc|ccc}L& & & A &\to R & \\\hline 1& 0& 0& 2& -4& 3\\ 0& 1& 0& 8& -12& 4\\ 0& 0& 1& 4& -2& 10\end{array}$$das Ziel ist es, alle Elemente in \(R\), die unterhalb der Diagonalen stehen, zu 0 zu machen.

Man beginnt in der zweiten Zeile und berechnet den Faktor \(a_{21}/a_{11} = 8/2= 4\). Diesen trägt man an der Stelle \(l_{21}\) ein und subtrahiert anschließend das \(l_{21}\)-fache der ersten Zeile von \(R\) von der zweiten$$\begin{array}{ccc|ccc}1& 0& 0& 2& -4& 3\\ {\color{red}4}& 1& 0& {\color{red}0}& {\color{red}4}& {\color{red}-8}\\ 0& 0& 1& 4& -2& 10\end{array}$$das selbe macht man mit der dritten Zeile. Der Faktor ist \(a_{31}/a_{11}=4/2=2\)$$\begin{array}{ccc|ccc}1& 0& 0& 2& -4& 3\\ 4& 1& 0& 0& 4& -8\\ {\color{red}2}& 0& 1& {\color{red}0}& {\color{red}6}& {\color{red}4}\end{array}$$Nun erfolgt der Übergang zur nächsten Spalte - also der \(k=2\).Spalte und wir beginnen mit der \(k+1=3\).Zeile. D.h es ist das Element an der Position \(3,\,2\) gefragt und der Faktor ist \(a_{32}/a_{22} = 6/4=1,5\). Diesmal wird die zweite Zeile von \(R\) damit multipliziert und anschließend von der dritten abgzogen. Mit dem Effekt, dass \(a_{32}\) zu 0 wird$$\begin{array}{ccc|ccc}1& 0& 0& 2& -4& 3\\ 4& 1& 0& 0& 4& -8\\ 2& {\color{red}1,5}& 1& {\color{red}0}& {\color{red}0}& {\color{red}16}\end{array}$$und fertig! Links steht \(L\) und rechts steht die Matrix \(R\). Und es gilt \(A = L\cdot R\).

Versuche zunächst mal, das nachzuvollziehen. Und wenn Du dann immer noch wissen möchtest, wie das mit der Pivotwahl funktioniert, dann musst Du Dich nochmal melden ;-)

Gruß Werner

Comments

Hallo, Vielen Dank für die Antwort!
ich habe leider erst später bemerkt dass die Zerlegung mit Spaltenpivotwahl durchgeführt werden muss.

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... reicht Dir die Antwort von wächter? Sonst würde ich es morgen nochmal versuchen.

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Könntest du mir bitte bei meiner aktuellen Frage helfen.

Verstehe bei der ersten Aufgabe nicht so Recht, ob man da einfach die Beträge der beiden Vektoren multiplizieren sollte (da von "verschieben" die Rede ist) oder den Abstand von beiden errechnen soll.

Bei Aufgabe 2 habe ich auch nicht ganz verstanden(Komponente). Habe im Ansatz cos(a)*F_a*s angegeben, wobei auch da F_a fehlen würde.

Würde mich sehr freuen, wenn du mir weiterhelfen könntest :)

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Würde mich sehr freuen, wenn du mir weiterhelfen könntest :)

hat Tschakabumba schon erledigt. Seine Antwort ist genau richtig!