Wie bestimme ich die Wahrscheinlichkeitsdichte?

Question

Hallo @all,

ich sitze in der Hausübung vor folgender Aufgabe und komme leider überhaupt nicht weiter.. Ich hoffe jemand von euch kann mir hier helfen.

Die gemeinsame Dichte mit Konstante \( c \in \mathbb{R} \) der zweidimensionalen stetigen reellen Zufallsvariablen \( (X, Y) \) sei gegeben durch

\( \begin{aligned} f_{c}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f_{c}(x, y): &=c \cos (x+y) \cdot \mathbb{1}_{\left(0, \frac{\pi}{2}\right)^{2}}(x, y) \\ &=\left\{\begin{array}{ll}c \cos (x+y), & 0<x<\frac{\pi}{4}, 0<y<\frac{\pi}{4} \\ 0, & \text { sonst. }\end{array}\right.\end{aligned} \)

1) Bestimmen Sie die Konstante \( c \in \mathbb{R} \) so, dass \( f_{c} \) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

2) Sind X und Y unabhängig?

Comments

Wieso steht in der einen Version \(\frac \pi 2\) und in der anderen \(\frac \pi 4\)? Welche von beiden stimmt?

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Es muss wohl [0 ; pi/4]^2 gemeint sein. Der Cosinus soll sicher nur den Wertebereich von 0 bis 1 haben oder?

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Stimmt, würde wohl Sinn machen, dass die Dichte positiv bleibt :)

Answer 1

Das Volumen unter der Dichte muss die Größe 1 annehmen (Die Fkt. habe ich jetzt mal im Sinne des Kommentars vom Mathecoach interpretiert)

$$\begin{aligned}\int \limits_{-\infty}^{\infty}\int \limits_{-\infty}^{\infty}c\cos(x+y)\cdot 1_{[0;\frac \pi 4]^2}(x,y) \, dy\, dx&=c\int \limits_{0}^{\frac \pi 4}\int \limits_{0}^{\frac \pi 4}\cos(x+y)\,dy\,dx\\ &=c\int \limits_{0}^{\frac \pi 4}\left(\sin\left(x+\frac \pi 4\right)-\sin\left(x\right)\right)dx\\ &=c\left(\sqrt 2-1\right)\stackrel{!}{=}1\\ &\Leftrightarrow \quad c= 1+\sqrt 2 \end{aligned}$$