Was ist der Wert a wenn der Differenzenquotient gegeben ist bei einer quadr. Funktion?

Question

Differenzenquotient im Intervall gegeben. Was ist der Wert a?

Gegeben ist eine quadratische Funktion \( f \) mit \( f(x)=a \cdot x^{2}+b \) mit \( a, b \in \mathbb{R} \).
Der Differenzenquotient der Funktion \( f \) hat im Intervall \( [1 ; 3] \) den Wert 20 .
- Geben Sie den Wert von a an!

Kann mir jemand (mit einfachen Worten) erklären, wie man das rechnet? Für a soll 5 rauskommen, aber ich hab keine Ahnung, wie man dort hin kommt.

\( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)

Was muss ich hier oben, für f(b) und f(a) einsetzen? Das b - a unten 2 ergibt ist klar.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f(x)=ax^2+b$$

Der Differenzenquotient von \(f\) im Intervall \([1|3]\) ist gleich \(20\). Formal heißt das:$$20=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}$$Da wir den Funktionsterm kennen, können wir ihn einsetzen:$$20=\frac{\overbrace{(9a+b)}^{=f(3)}-\overbrace{(a+b)}^{=f(1)}}{3-1}=\frac{8a}{2}=4a\quad\implies\quad a=\frac{20}{4}=5$$

Comments

Dankeschön :)

Answer 2

f(b)= f(3) = 9a+b

f(a) = f(1) = a+b

-> 8a/2 = 20

a= 5 -> b= 7

Comments

Wie bist du auf 9a+b gekommen?

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a*3²+b ist nun mal 9a+b.

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Stehe gerade komplett auf der Leitung. Wo steht da was von a*3^2?

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f(3) = a*3^2+b = 9a+b

(nur einsetzen in f(x), x=3) :)

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\( f(x)=a \cdot x^{2}+b \) wird (unter anderem) an der Stelle x=3 (rechte Intervallgrenze) berechnet.

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Ah okay, danke euch :)